一类垂直弦问题的探究——谈圆锥曲线的一个统一结论.pdfVIP

在近来的高考与竞赛中，常出现与垂直弦有关的一类问题， — -l (一2p)，即(0+b)Y一2pab一2pa2=一 ． 不仅考查了圆锥曲线的基本性质，也考查了学生运用性质解决 问题的能力．通过对问题的分析和探究可知，这一类问题具有一 因为ab=一1，所以(n+b)Y+2p= ，llp(a+b)Y= 一2p． 定的规律性，现介绍如下． 故直线AB恒过定点(2p，0)． 一 2．问题的引申 、 问题的呈现 (问题一) 已知 ：抛物线 = ，过原点0作两条射线 上述问题中原点 0是一个特殊点 ，我们会想：如果把原点 OA．OB分别交抛物线于A，B，且 OA上OB，求证 ：直线AB 0换成其他的特殊点又将如何呢? (问题二)已知A (1，1)，BC是抛物线 = 上两个动点， 解 ：设OA的斜率为k，OA的方程为 ，，=kx， 且AB上Ae求证：直线BC经过一个定点，并求出定点的坐标． 解：设 曰( ，Y1)，c( ，y9，AB．LAC， 联立{y ’得k2x：2p． 所以 c=。 。 一 1． Vl十 l ¨ 十 l 解得％=等，所以A(k2，互k)． 即 +(Yl+y2)+2=0． 同理可得 曰(2p ，一2p ． 而直线曰c的方程为y-y } (一)· 化简可得 (1+Yz)(+1)+(2一 )=0， 删…=每扫+2kp每参寺吉 ，’ 故有直线BC过定点(2，一1)． 3．问题的一般性 所以AB的方程为 + 丁 (一 )· 通过以上的探究，我们 自然会联想到对于给定的抛物线上 任一点是否也有类似的结论呢?答案是肯定的． 化简整理得(1一k2)y+(2p— )k=0． (问题三)已知点A(0， )是抛物线 = 上的一个定点， 易知A曰过定点(2p，0)． 二、问题 的探究 曰C是抛物线 =2p 上两个动点 ，且AB3_AG，则直线 曰C过定 1．解法的探 究 点(2p+ 0，yo)． 通过对已知条件的再认识 以及考虑到抛物线上点的坐标假 解：设叱争，Y-)，c(等，Y2)， 设的灵活性，我们可以得到如下解法 ： (方法二)解：设A( Y。)，B(xz，Y2)． 则有 ％AB=— Jl一，Ac=— )I ． Y1叶。yo 2叶。yo 因为