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维普资讯 2004年第 15期 数学通讯 三角形 “五心”向量形式又一充要条件及其统一证法 鲍利人 李太新 (安吉高级中学，浙江 313300) 中图分类号：O122—42 文献标识：A 文章编号：0488—7395(2004)15—0027—02 文[1]给出了三角形 五“心”向量形式的 LB所对的旁心为lib，LC所对的旁心为 充要条件，本文受此启发，予以推广．给出了 HC，则有： 更加优美对称的表达形式，并给出了其统一 是旁心∞ = 的证法． — — — — - ———+ ———+ 一口·OA+b·CIB+c·OC 1三角形 “五心”的优美表达式 AABC中，AB=C，BC：口，CA=b，H HB是旁心∞ = 是其平面内的某一点，O是其平面内的任一 口·0Al—b·0Bl+c·0C n—b+c ‘ 点，则 Hc是旁心∞面 = 结论 1 H 是重 心 ∞ = _ + 口·OA+b·OB—c·OC I I 0Al+0Bl+OC — — — 一 n十b—C ’ ’ ∞ OH 2 …统一证一 法一 ， 、 结论 2 H 是 内心 = — — — — ’ ———+ ———+ 我们先证如下一个 口·OA+b·0Bl+c·0C — — — — 一 ‘ 引理． 结论 3 H 是垂心 ∞ 荫 = 引理 AABC中， C 旦 ±塑 E，F为AC，彻 上的 + + C (＼直角门三一角门 tanA tanB tan 图1三角形 点，BE，CF交于H，O 形除外)． 为其平面内任一点，则 结论 4 H 是外心 ∞ 荫 = 笪 ： 笪 ： ∞ I-．I： ． ， sin2A —·O——A，+sin