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第一章 Monte Carlo方法基础 §1.4随机行走与生长问题 问题。实际上，也可把方程（1.4.4.5-1 ）看成是稳态下的扩散方程（1.4.1.4-1 ） 式，这时，在正方格子中，随机行走进行扩散的粒子处于格点 i, j 的几率满足 ( ) P (P =+P +P +P ) 4 ， (1.4.4.5-2) i, j i−1, j i+1, j i, j−1 i, j+1 2 这正是 Laplace 方程∇ P 0 的离散化形式（我们将在后面有限差分法中叙述）， 因此，扩散几率与上面的两个电极之间的电势有相同的行为，它们成正比的关系， 我们称这是 DLA 边界条件下的 Laplace 生长。后面介绍的介电击穿模型中也是 Laplace 生长，但边界条件不同。 上面的 Laplace 生长同时也给我们提供了求解微分方程的另一条思路。更一 般地，我们可以用随机行走的方式来求解 Poisson 方程， 2 ∇φ x , y q x , y , φ | Φ。 (1.4.4.5-3) ( ) ( ) Γ Laplace 方程是 Poisson 方程当q 0 时的特殊形式。对于以边长为 的等间距分 h 割的正方形格子（图1.4.4.5-1 ），上面的方程的离散化形式是 2 φ (φ =+φ +φ +φ −h q ) 4 。 (1.4.4.5-4) , 1, 1, , 1 , 1 , i j i− j i+ j i j− i j+ i j 为讨论方便，将上式改写成 4 2 φ0 ∑p 0, φ =−h q 0 4, p 0, 1 4 。 (1.4.4.5-5) k k k k 1 p 看成是从0点行走到 点的几率。 k 0k 设我们从体系内部任选第 i, j 格点即0 ( ) 点开始进行随机行走，当选中邻近4个格点之 2 一的m 点时，则φ φ =−h q 4 ；然后粒子 0 m 0 又从m 点行走到它的邻近格点n 点时，又可 2 从 n 点算出m 点的值，φ φ =−h q 4 。此 m n m 时可将0点的值写成，φ φ =−h2 (q +q ) 4 ， 0 n 0 m 如此重复K 步，直到随机行走到边界Γ上的 一点s 时，记下边界值Φ s ，故有 ( )