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第一章 生物力学基础 通过复习后，应该: 1.掌握刚体定轴转动的角速度、角加速度、转动惯量、转动定律、角动量、物体平衡的力学条件; 2.理解物体形变时的张应变和张应力、切应变和切应力、体应变和体压强; 3.了解人体骨骼、肌肉、血管壁的力学性质以及作用在骨骼上的力。 1-1 一飞轮以转速为转动，受到制动后均匀地减速，经后静止，求: ①飞轮的平均角加速度; ② 时刻的角速度; ③若飞轮的半径为，时刻的飞轮边缘的切向速度和向心加速度。 解: ①已知初始角速度为，末角速度, ，根据，可得飞轮的平均角加速度为 ②根据 ，可得时刻的角速度为 ③已知，时刻的飞轮边缘的切向速度为 向心加速度为 1-2 一长为，半径为、质量为的均匀圆柱体，计算转轴通过圆柱体的几何轴线时，圆柱体的转动惯量。 解: 由于质量是均匀分布的，其圆柱体密度，把圆柱体看成由许多同轴的薄圆筒组成（见本题附图），其半径为，厚度为的薄圆筒的质量元为，该薄圆筒对于通过圆柱体几何轴线的转动惯量为，所以整个圆柱体对该转轴的转动惯量为 将代入上式得 习题1-2附图 1-3 一密度均匀的圆环形薄板，质量为，内径为 ，外径为，求该圆环形薄板对垂直通过中心的转轴的转动惯量。 解: 由于质量是均匀分布的，故圆板的面密度，如本题附图所示，距离圆心为，宽度为的圆环面元的面积，其质量元为应用转动惯量积分式计算 将代入上式得 习题1-3附图 1-4 两物体的转动动能之比为1∶4，转动惯量之比为2∶1，求两物体的角速度之比。 解: 刚体的转动动能为，由此可得。已知第一个物体与第二个物体的，，故两物体的角速度之比为 1-5 两个圆盘用密度不同的金属制成，但质量和厚度相等，转轴垂直通过圆盘中心，问哪个圆盘具有较大的转动惯量。 答: 设圆盘的密度，由于两圆盘的质量和厚度相同，而质量，因，故，即密度大的圆盘半径小，利用习题1-2的结果，圆盘的转动惯量为 可见，本题中密度小的圆盘具有较大的转动惯量。该题说明，如果改变物体的质量分布，就会改变物体的转动惯量。 1-6 电动机带动一个转动惯量为的系统作定轴转动，在内由静止开始达到的转速，假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。 解: 已知系统的转动惯量，在内，角速度由增加到 ，故在这段时间内的平均角加速度为 根据，可得电动机对转动系统施加的力矩为 1-7 如本题附图所示，用轻质线绕在半径为、质量为 的圆盘上，线的一端挂有质量为 的物体，如果圆盘可绕过盘心的垂直轴在竖直平面内转动（摩擦力矩不计），求物体下落的加速度和圆盘转动的角加速度。 解: 忽略轻质线的转动惯量，设线对物体的拉力为，物体下落的加速度为，圆盘转动的角加速度为，由于圆盘绕过盘心的垂直轴转动，其转动惯量，根据牛顿第二定律和刚体的转动定律以及附图，可得以下三个方程 将上面三式联立求解:由②式得，代入①式，且将 ③式也代入①式，经整理后，可得圆盘的角加速度为 物体下落的加速度为 习题1-7附图 1-8 一转台绕竖直固定轴转动，每转一周，转台对轴的转动惯量为 ，质量为的人开始时站在台中心，随后沿半径向外跑去，当此人离台中心时，转台的角速度是多少? 解: 已知人在台中心时系统的转动惯量，角速度。若将人视为一个的质点，则当人在离台中心时，整个系统的转动惯量为 人沿半径向外跑去时，系统所受的合外力矩为零，根据角动量守恒定律，，有，由此可得人离台中心时，转台的角速度为 1-9 一人坐在转椅上，双手各持哑铃，哑铃与