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第一章 量子力学基础-2.pdf
§1-3 量子力学中的力学量和算符
一、算符的一般概念
1、定义
算符即运算规则。它作用在一个函数ψ (x)上即是对ψ (x)进行某
种运算，得到另一个函数ϕ (x)
ˆ
F xψ( ) x ϕ( )
例 ： ˆ d
D
dx
ˆ
xf x( ) xf x( )
ˆ
If x( ) f x( )
ˆ
0 ( ) f 0x
2、乘法与对易
ˆ ˆ ˆ
AB ψ A B ψ ≡ ( )
算符的乘法服从结合律 : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A BC AB C() ( )
算符的乘法一般不服从交换律 : ˆ ˆ ˆ ˆ
AB ≠ BA
例如 :
ˆ ˆ d
( ) ( ) (xfD)xxf x f( )x +xf x ˆ ˆ
xDf x xf x
dx ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
Dx I + xD ≠ xD
若对任意Ψ，都有 ：
ˆ ˆ ˆ ˆ
AB ψ BA ψ
ˆ ˆ
则称 A 和 B 对易 :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
引入记号 :
AB BA A− B ≡ [ , ]
则算符的对易式可记为： ˆ ˆ
A[B], 0
易证 : ˆ ˆ ˆ
D x [I , ]
ˆ ˆ
x p [i , x ]
可定义算符的n次方为 ：
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