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分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用.pdf
第 15 卷 总第 58 期 广 东 广 播 电 视 大 学 学 报 2006 年第 2 期
Vol. 15 Sum No. 58 J OURNAL OF GUANGDONG RADIO TV UNIVERSITY No. 2. 2006
分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用
林瑾瑜
(广东省揭阳市广播电视大学 , 广东揭阳 , 522000)
【摘要】从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的
应用 。
【关键词】分块矩阵 ; 性质 ; 行列式计算
【中图分类号】O15121 【文献标识码】A 【文章编号】1008 - 9764 (2006) 02 - 0109 - 03
大家知道 ,在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质 :
( )
1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面 ;
(2) 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变 ;
(3) 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号 。
利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广 。
性质 1 设矩阵 A 是由如下分块矩阵组成
A 1 A 2 A 3
A = B 1 B 2 B 3
C C C
1 2 3
其中 A , A , A , B , B , B , C , C , C 都是 s ×t 矩阵, 又 M 是任一s 阶方阵 。对于矩阵
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A 1 A 2 A 3
D = B 1 + M C B 2 + M C B 3 + M C
C C C
1 2 3
则 | A | = | D |
Es 0 0 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3
证明 由 0 Es 0 ·B 1 B 2 B 3 = B 1 + M C B 2 + M C B 3 + M C
0 0 E C C C C C C
s 1 2 3 1 2 3
其中 Es 是s 阶单位矩阵, 对上式两边同时取行列式得 :
| A | = | D |
性质 2 设方阵 A 是由如下分块矩阵组成
A 1 A 2 A 3
A = B 1 B 2 B 3
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