第七章 线性变换 习题答案.docVIP

第七章 线性变换 3．在中，，，证明： ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取，则有 ， 于是． 4．设是线性变换，如果，证明： ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当时，由于，可得 ， 因此结论成立． 　　假设当时结论成立，即．那么，当时，有 ， 即对结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切结论都成立． 　　『特别提醒』由可知，结论对也成立． 　　5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设是线性空间上的一个可逆变换．对于任意的，如果，那么，用作用左右两边，得到，因此是单射；另外，对于任意的，存在，使得，即是满射．于是是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间上的可逆映射是到自身的同构． 6．设是线性空间的一组基，是上的线性变换，证明可逆当且仅当线性无关． 证法1　若是可逆的线性变换，设，即 ． 而根据上一题结论可知是单射，故必有，又由于是线性无关的，因此．从而线性无关． 反之，若是线性无关的，那么也是的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换，使得，．显然 ，，． 再根据教材中的定理1知，．所以是可逆的． 证法2　设在基下的矩阵为，即 ． 由教材中的定理2可知，可逆的充要条件是矩阵可逆． 因此，如果是可逆的，那么矩阵可逆，从而也是的一组基，即是线性无关的．反之，如果是线性无关，从而是的一组基，且是从基到的过渡矩阵，因此是可逆的．所以是可逆的线性变换． 　　『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换可逆转化成了矩阵可逆． 9．设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为 ． 1）求在基下的矩阵； 2）求在基下的矩阵，其中且； 3）求在基下的矩阵． 『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解． 解 1）由于 ， ， ． 故在基下的矩阵为 ． 2）由于 ， ， ． 故在基下的矩阵为 ． 3）由于从到的过渡矩阵为 ， 故在基下的矩阵为 ． 『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解． 10．设是线性空间上的线性变换，如果，但，求证：（）线性无关． 证明　由于，故对于任意的非负整数，都有．当时，设 ， 用作用于上式，得 ， 但，因此．于是 ， 再用作用上式，同样得到．依此下去，可得．从而线性无关． 16．证明： 与 相似，其中是的一个排列． 『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义． 证法1　设是一个维线性空间，且是的一组基．另外，记 ，． 于是，在基下，矩阵对应的一个线性变换，即 ． 从而，．又因为也是的一组基，且 ． 故与相似． 　　证法２　设 与 ． 对交换两行，再交换两列，相当于对左乘和右乘初等矩阵和，而 即为将中的和交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将的主对角线上的元素变成，这也相当于存在一系列初等矩阵，使得 ， 令，则有，即与相似． 『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明． 17．如果可逆，证明与相似． 证明 由于可逆，故存在．于是 ， 因此，根据相似的定义可知与相似． 19．求复数域上线性变换空间的线性变换的特征值与特征向量．已知在一组基下的矩阵为： 1）； 4）；5）． 解 1）设在给定基,下的矩阵为．由于的特征多项式为 ， 故的特征值为，． 当时，方程组，即为 解得它的基础解系为．从而的属于特征值的全部特征向量为 ， 其中为任意非零常数． 当时，方程组，即为 解得它的基础解系为，从而的属于特征值的全部特征响向量为 ， 其中为任意非零常数． 4）设在给定基下的矩阵为，由于的特征多项式为 ， 故的特征值为，，． 当时, 方程组，即为 求得其基础解系为，故的属于特征值2的全部特征向量为 其中为任意非零常数． 当时, 方程组，即为 求得其基础解系为，故的属于特征值的全部特征向量为 其中为任意非零常数． 当时，方程组，即为 求得其基础解系为，故的属于特征值的全部特征向量为 其中为任意非零常数． 5）设在给定基下的矩阵为，由于的特征多项式为 ， 故的特征值为（二重），． 当时，方程组，即为 求得其基础解系为，故的属于特征值1的全部特征向量为 其中为任意不全为零的常数． 当时，方程组，即为 求得其基础解系为，故的属于特征值的全部特征向量为 ， 其中为任意非零常数． 　　『方法技巧』求解一个线性变