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2015-09-09 发布于重庆
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相对变化法在高中数学中的巧妙应用魏致远在高中数学里我们经常遇到两个变量的问题，这类问题一般运算复杂，难度大。由于是两个变量，不好处理，我们不妨把的同时变化看作相对于的变化，则会使问题简化了许多。例1.(Jensen不等式）对于在区间上连续的函数，如果它的二阶导数存在且，证明：，恒成立.其中且. 此即为著名的Jensen不等式，我看网上都是用泰勒展开式证明的，由于我不知道泰勒展开式是什么，看不懂，于是灵光一闪，想出了这种方法，证明如下：要证，即证，把的同时变化看作相对于的变化，不乏一般性，设，构造函数，且，显然，（常数的导数为零）由于，所以递增，且，所以，所以函数递减，所以（注意到且），证毕. 例2．（04年全国卷）已知函数 (). 求证：. 证明：，构造函数，，，，所以即证，，证：，所以（注意到）；证：，所以（注意到），证毕. 练习： 1.(2011年安徽省“江南十校”联考)已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1. （1）求的值及的单调减区间；（2）设＞0，＞0，，求证：. 2.在例一中，若，可得到怎样的结果？证明你的结论. 自我介绍：本人是湖南省衡阳县一中高中生，QQ：964978022，希望大家多多支持哦，谢谢阅读。