相对变化法在高中数学中的应用.docVIP

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相对变化法在高中数学中的巧妙应用 魏致远 在高中数学里我们经常遇到两个变量的问题,这类问题一般运算复杂,难度大。由于是两个变量,不好处理,我们不妨把的同时变化看作相对于的变化,则会使问题简化了许多。 例1.(Jensen不等式)对于在区间上连续的函数,如果它的二阶导数存在且,证明: ,恒成立.其中且. 此即为著名的Jensen不等式,我看网上都是用泰勒展开式证明的,由于我不知道泰勒展开式是什么,看不懂,于是灵光一闪,想出了这种方法,证明如下: 要证, 即证, 把的同时变化看作相对于的变化,不乏一般性,设,构造函数 ,且,显然,(常数的导数为零) 由于,所以递增,且, 所以,所以函数递减,所以(注意到且),证毕. 例2.(04年全国卷)已知函数 (). 求证:. 证明:,构造函数,,,,所以即证,, 证:,所以(注意到); 证:,所以(注意到),证毕. 练习: 1.(2011年安徽省“江南十校”联考)已知函数在处取得极值,且在处的切线的斜率为1. (1)求的值及的单调减区间; (2)设>0,>0,,求证:. 2.在例一中,若,可得到怎样的结果?证明你的结论. 自我介绍:本人是湖南省衡阳县一中高中生,QQ:964978022,希望大家多多支持哦,谢谢阅读。

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