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蒙特卡罗模拟 （Monte Carlo Simulation ） 第三章 常用数学模型及建模方法 当所求问题的解可以视为某个随机变量X 的概 率或期望 的函数时，通过随机抽样，即模拟 随机变量X产生的 “实验” ；然后计算频率或 平均值 ，以估计概率或期望 ；从而得到所求 §3.6 蒙特卡洛模拟与随机过程 问题的解。 也称为MC 方法。 例、计算面积 例、蒲丰投针 法国数学家蒲丰 （1707-1788）最早设计了投针试  考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个 验。并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计算 形状不规则的 “图形” ，求这个 “图形”的面积s？ 公式P=2L/πd ，其中L 是针的长度 ，d是平行线间的距  注意：在正方形内随机抽样 （撒点），只要的样本点 离，π是圆周率。特别当2L=d 时，π=1/P。 在正方形内均匀分布 ，则样本点落在 “图形” 中的概 计算π 的MC 方法：在一个有界的平面区域上画一组间 率只与 “图形”的面积s成正比 ，而与 “图形”位置 距为d 的平行线，向该区域 “随意”投掷n 支长度为 与形状无关。 d/2 的细针，计算与平行线相交的细针的根数 ，记为  计算面积的MC 方法：向该正方形 “随意”地投掷N m ；当n 充分大时，针与平行线相交的频率m/n 可以 个点 ，落于 “图形” 内有M 个点 ，则当N 充分大时， 近似估计概率；因此 π  n /m 。 该 “图形”的面积近似为M/N 。 b 投点法MC 方法： 例、计算定积分 s a f (x)dx 输入 ：a, b, N, h max{f(x)}, S=h*(b-a).  投点法: 将定积分表示为曲边形面积。 过程 ：M  0 对n=1 到N循环  平均值法 ：将定积分表示为函数均值与积分区间长 x random{[a,b]} 度乘积。 y random{[0,h]}  计算函数均值的MC 方法：向区间[a,b] “随意”地投 z f(x) 掷N 个点 ，求这N 个点上的函数值的平均值 。则当N 若y=z , 则 充分大时，平均值近似均值 。此种方法的正确性是 M  M+1 基于概率论的中心极限定理。 当抽样点数为n 时，使 结束 用此种方法所得近似解的统计误差恒为1/n1/2, 不随 结束 积分维数的改变而改变 。 输出 ：s=S*M/N 1