破解导数零点问题的非常规策略.pdfVIP

2010年第 9期 中学数学月刊 ·37 · 破解导数零点问题的非常规策略 张春明 (江苏省通州高级 中学 2263OO) 导数作为衔接初等数学和高等数学 的纽带，丰 解析 g(z)一O㈢ 一m— yI 富了研究函数 的方法 ，已然成为各地 高考或竞赛 的 z 一 2 z一 ． 热点 内容．而利用导数研究 函数 的零 点是导数 的一 Z ＼ ： 个重要应用 ，反思高中数学中导数零点 问题 的求法 ， 记 q(z)一 z。一 2ez一 D In cc 有如下三种较为 困难且非常规 的题型，值得我们细 — — ， 则 q(z)一 2( — e)+ 细品味． ln z一 】 1 零点观察型 z‘ 图 1 此类题型，导数的零点或符号能观察 出来 ，但利 观察可得 q(e)=0，且 当 用高中代数方法无法解 出． 0 z e时 ，q(-z) 0， e时 口(z) 0， 例 1 (2009年全 国高中数学联合竞赛一试第 故 z— e是 g(z)的最小值点． 15题)求函数 一 z+27+ 13—32+~／的最大 所 以一 m ≥ q(e)一一e一 =》m ≤ e+ ． 值和最小值． 联赛组委会提供 的标准答案是巧妙构造系数 ， 点评 导数易求 ，零点难得 ，唯 “观察”是破解 利用柯西不等式求解．解答思路尽管精妙 ，但技巧 此题 的最优 途径 ． 强、人 口窄．其实，我们呵以利用导数 的方法 ，无需太 2 “再次求导”型 多技巧就可 以解决． 这里所讲的 “再次求导”有别于二阶导数．“再 解析 易求定义域为Eo，13]，故 ．y一 g(z)一 次求导”是对一阶导数 的局部进行二次求导，目的 1 ． 1 1 是通过对二次求导后的函数的符号变化，从而判断 2 而 。2 2、再 。 原函数的单调性情况 ． 令 一 0．观察导 函数 中的三个根式 ，当三个根 例 3 (2010年南通市第三次调研 考试 23题) 式 中的多项式均为完全平方式 时 ，可得导 函数 的零 已知函数厂(z)一In(1+z)一f ，求函数厂(z)的 点为 一 9． 极值．