多边形及其内角和经典例题透析.docVIP

经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？　　思路点拨:本题实际告诉了这个多边形的内角和是.　　解析：设这个多边形是边形，　　　　　则它的内角和是，　　　　　所以，解得.　　　　　所以这个多边形是十二边形.　　总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.　　举一反三：　　【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.　　【答案】设这个多边形的边数为，根据题意得：　　　　　　 ，　　　　　　 解得. 　　　　　　 所以多边形的边数为10.　　【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？ 　　【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，　　　　　　 则，　　　　　　 即.　　　　　　 因为等式左边是180°的整数倍，所以等式右边也是180°的整数倍.　　　　　　 又因为，　　　　　　 所以，此时.　　　　　　 所以这个多边形的内角和是：.　　【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。　　【答案】可设多边形的边数为n，某一个外角为α　　　　　　 则(n－2)×180＋α＝1350　　　　　　 从而(n－2)=　　　　　　 因为边数n为正整数，所以α＝90，n＝9类型二：多边形对角线公式的运用2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？　　思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图： 　　　　　　　　　　　　　 　　解析：共需要比赛（场）. 　　　　　所以一共需要进行15场比赛.　　总结升华：对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.　　举一反三：　　【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）.　　A．6 　　　B．7　　　 C．8 　　　D．9　　【答案】C. 提示：一个多边形的对角线条数为条，将6、7、8、9分别代入，结果为20的即为正确答案.　　【变式2】一个十二边形有几条对角线。　　解析：过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，那么十二个顶点可以画12×9条对角线，　　　　　但每条对角线在每个顶点都数了一次，所以实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）　　　　　∴十二边形的对角线共有54条。　　总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问题3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨: 设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解. 　　解析：连接BF，则∠A+∠G=∠1+∠2.　　　　　∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G　　　　　　=∠1+∠2+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG.　　　　　　=(5-2) ·180°= 540°. 　　总结升华：本题通过作辅助线，把∠A与∠G的和转化为∠1与∠2的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.　　举一反三：　　【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】360°.（提示：把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6转移到同一个多边形内.）　　【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：连结ED，在ΔAOB和ΔDOE中，　　　　　∵∠AOB＝∠DOE，　　　　　∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B　　　　　∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDO＋∠OEF＋∠F　　　　　＝∠2＋∠1＋∠C＋∠CDO＋∠OEF＋∠F　　　　　＝∠C＋∠CDE＋∠DEF＋∠F＝360°类型四：实际应用题4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.　　解析：如图，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是，由C市向A市行驶时转的角是，