第二章 数学研究的一般方法.pptVIP

第二章 数学研究的一般方法 §1 观察法与实验法 观察法和实验法是获取经验材料的基本途径，是形成、发展和验证科学理论的实践基础，也是自然科学研究中十分重要的方法和数学方法论种最基本的方法之一。 一、观察法 （一）观察法的含义 前苏联数学教育家B.A.奥加涅相认为：观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。 从数学的角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。 在数学知识的发现和解决数学问题的过程中，观察法是常用的有效方法之一。 §2 划分法与比较法 划分法和比较法是数学研究的一般方法，也是自然科学研究中对感性材料进行初步加工的方法。 一、划分法 （一）划分法的标准、意义及规则 划分是指按照事物间的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。每一种分类都按照一定的标准进行。其标准应根据研究的目的或观察问题的角度来确定。划分的意义在于使知识条理化，并进而系统化，促进认知结构的发展。数学上的划分包括对概念的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的分域讨论等。 任何划分都包含三个部分：划分的母项、划分的子项以及划分的标准。 1．对概念的划分 概念的内涵可以通过定义来揭示，概念的外延则可借助划分来揭示。 对概念的划分就是把一个概念按照一定的标准分为若干各种概念的逻辑方法。划分的母项就是被划分的概念；划分的子项就是从母项划分出来的各个种概念；划分的标准就是据以划分的属性。 2．对对象的划分 在中学数学里，把问题按所研究的对象来划分，有算术题、代数题、几何题、三角题、微积分题等等。任何问题必须放在一个确定的系统中去研究，才有确定的意义和解答。按所研究的对象来划分，可明确其所属的数学系统，这样就有了研究问题的科学基础和依据；由此，在所属的数学系统中，就可根据有关的基础知识、解题经验和方法来解决问题。 （二）举例 例1 从1到300之间取3个不同的整数,使此 3数之和能被3整除,有多少种取法? 运用分类思想可以得到解题的一个重要工具――抽屉原则． “抽屉原则”包括以下三项原则： 原则一：把多于个的元素按任一确定的分成个集合，那么一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素． 原则二：把多于个的元素按任一确定的方式分成个集合，则必定有一个集合中含有个或个以上的元素． 原则地显然是原则一的推广． 原则三：把无穷多个元素分成有穷个集合（按一定的方式），则至少有一个集合含无穷多个元素． 分成的一个“集合”，可以形象地比喻为一个个的抽屉，而解题的关键正在于设计合乎题意的“抽屉”。 二、比较法 （一）比较法的含义 　　　所谓比较，就是在思维中确定两个或两个以上对象，或同一对象在不同的时间、条件下的共同点和不同点，比较是在分析与综合的基础上进行的，要使学生经抽象概括得到理性认识必须通过比较。 （二）数学解题中的比较方法 在数学教学中，有经验的教师通过旧知识引进新知识，学生在新旧知识的比较中，提出疑问，创设问题情境。比较在数学学习中不仅是一种科学的认识方法，而且已发展成为一种独立的数学解题方法。 1．概念或同类事物的比较 2．用比较法证明不等式 例3 求证：周长相等的圆与正方形中，以圆的面积为大。 （2）作商法 其依据是： §3 分析法与综合法 自然界的一切事物都是由部分组成的统一整体。作为思维方法的分析与综合，就是以整体和部分的矛盾关系为基础，由思维主体对认识对象按照一定目标进行的分解与组合。 一、分析法 （一）分析法的含义 一般地，分析是指对研究对象的整体进行分解、剖析，以达到认识对象的各个部分的性质或各个部分在整体中的作用所采用的思维方法。因为对部分或要素的认识是对整体事物认识的基础，所以分析是抽象的前提。 （二）分析和逆推 分析在数学中还特指从结果（或结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。这种方法又分为两种：一种是逆求法；另一种是逆推法。 如果在执果索因过程中，每一步分析得到的是充要条件，即所进行的变换是等价变换时，则称这种方法是逆推法。其思维过程的主干可表示为： （三）分析法的作用 1．分析法是认识事物的一种方法 2．分析法是科学研究的一种方法 3．分析法在中学数学教学中有着重要的作用 （1）分析法是中学数学中的一种重要的解题方法 （2）分析法有利于锻炼、培养和提高学生的逻辑思维能力 二、综合法 （一）综合法的含义 综合是在分析的基础上把对研究对象的各个部分、方面、要素和层次有机地联系起来、结合起来加以综合研究，从而在整体上把握事物的本质及规律，以形成对研究对象整体认识的思维方法。也就是在从事物的各个部分、方面、因素和