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第二章 习题解答 1．若确知信号为，试求其能量谱密度、能量和自相关函数。 解：信号的傅氏变换为 其能量谱密度为 其能量为 信号的能量也可用下面的方法求解 2． （a）试证明题图2－1所示的三个函数在区间（－2，2）上两两正交。 （b）求（a）中的三个函数构成的标准正交基函数所需要的常数A。 （c）用（b）中的标准正交基函数表示波形。 解： （a）计算两两函数间的相关性 可见三个函数两两正交。 （b）任取一函数，如，对其码元的能量进行归一化，即令 解得 A＝1/2。 （c）已知由（b），得到A＝1/2，直接观察函数x(t)与该标准正交基函数的关系，易得：。 若按定义求解，则有： 其中 同样得：。 3．带通信号通过一个冲激响应为的线性系统，输出为。若，，试求：（1）的复包络；（2）的复包络的复包络；（3）求。 解： （1）； （2）的等效低通响应为 （3） 4．证明实平稳随机过程的自协方差函数满足如果的关系：（1）；（2）；（3）。 解： （1）按照定义 （2）利用随机过程平稳的特性，可得 （3）利用小题（2）的结果和自相关函数的性质，立刻有 5． 设，是均值为0、方差为，且相互独立的高斯随机变量，试求：（1）和；（2）的一维概率密度函数；（3）求的相关函数与自协方差函数。 解： （1） （2）在任一时刻可看作两高斯随机变量的线性加权和，因此仍为一高斯随机变量，由小题（1），已经求得＝0和，由此可得 已知该高斯随机过程的均值与方差，可得其分布为 （3）的相关函数 其中。因已知的均值为0，可见是一平稳随机过程。 的自协方差函数 6．已知随机信号，式中A是均值为(A、方差为(A2的高斯随机变量。（1）求随机信号x(t)的均值和方差；（2）该随机信号是否为广义平稳的随机过程，为什么？ 解：（1） 均值： 方差： （2）因为均值为时变的函数，所以该随机信号为非平稳的随机过程。 7．已知和是两个相互独立和零均值的平稳随机过程，它们的自相关函数分别为：。若，求的功率密度谱。 解： 由于和相互独立，且均值为0，因此，所以的自相关函数 的功率密度谱为 8．设RC低通滤波器如题图4－1所示，求当输入n(t)为均值为0，功率密度谱为N0/2的白噪声时，输出过程y(t)的均值、功率密度谱、自相关函数和分布特性。 解： RC低通滤波器的频率特性为 均值 功率密度谱 自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得 噪声功率（输出信号方差） 因为高斯过程经线性系统后仍为高斯过程，现已求得均值和方差，所以输出高斯信号分布概率密度函数为 9．双边功率密度谱为的白噪声经过传递函数为的滤波器后成为，若 求的功率密度谱及其功率。 解：的功率密度谱为 的功率 10． 设为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为。信号经过题图10所示的电路后成为，其中是于对应的输出，是与对应的输出。假设和的带宽等于低通滤波器LPF的通频带。（1）若为常数，求和的平均功率之比；（2）若与是独立的零均值的高斯随机变量，求和的平均功率之比。 题图 10 解：（1）为常数，由图，经乘法器和低通滤波器输出分别为 的功率为 （1） 经乘法器和低通滤波器输出分别为 的平均功率为 （2） 由（1）和（2）两式得 （2）与同是独立的零均值的高斯随机变量，记的方差为。此时，利用小题（1）的结果，的平均功率为 因为 代入上式得 的平均功率仍为 由此得 11． 若随机过程，其中是广义平稳随机过程，且自相关函数为 是在范围内服从均匀分布的随机变量，且与彼此独立，。（1）证明是广义平稳的；（2）绘出自相关函数的波形；（3）求功率谱密度及功率。 解： （1）均值 相关函数 的均值为零（常数），相关函数只与时间的差值有关，因此是广义平稳的。 （2）由小题（1），由此可绘出其波形如下 （3）相关函数与功率密度谱是一对傅氏变换：。因为 因此可得功率谱为 12．设信道加性高斯白噪声的功率密度谱为，设计一个题图所示的信号的匹配滤波器。（1）求匹配滤波器冲激响应的波形图；（2）确定匹配滤波器的最大信号输出幅度；（3）求匹配滤波器最大输出信噪比；（4）画出信号输入匹配滤波器时输出信号的波形图。 题图 2－12 解： （1）通过对信号关于纵轴折叠反转和平移等操作，容易得匹配滤波器的冲激响应的波形图为 （2）匹配滤波器对信号响应的最大输出幅度为 （3） 噪声的平均功率为 最大的输出信噪比 （4）严格求匹配滤波器时输出信号的波形图是一种较为复杂