第二章课后习题解答xinxiu.docVIP

第二章习题解答 2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。 解：均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去，跳的距离增加了多少？ 解 建立如图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 ① ② ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 可知道 水平距离 跳的距离增加了 = 2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。 解 因为质点组队某一固定点的动量矩 所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩 = 2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为及两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的 距离，不计空气阻力。 解：炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，，速度分别变为沿水平方向的，，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求，。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒： ① 以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒： ② 联立①②解之，得 所以落地时水平距离之差 = 2.8 一光滑球与另一静止的光滑球发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 证 以连线为轴建立如题2.8.1图所示的坐标。 设初始速度为与轴正向夹角碰撞后，设、运动如题2.8.2图所示。、速度分别为、，与轴正向夹角分别为、。以、为研究对象，系统不受外力，动量守恒。方向： ① 垂直轴方向有： ② 可知 ③ 整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：④ 由③④得 即： 即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。 2.9 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成角。求碰撞后第一小球偏过的角度以及在各种值下角的最大值。设恢复系数为已知。 解 类似的碰撞问题，我们一般要抓住动量守恒定理和机械能守恒定理得运用，依次来分析条件求出未知量。设相同小球为，初始时小球速度，碰撞后球的速度为，球的速度以碰撞后球速度所在的方向为轴正向建立如题2.9.1图所示的坐标(这样做的好处是可以减少未知量的分解，简化表达式)。以、为系统研究，碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒。 方向上有： ① 方向上有： ② 又因为恢复系数 即 =③ 用①-③ ④ 用④代入②得 求在各种值下角的最大值，即为求极致的问题。 我们有 得 即 =0 所以 即 由因为 = 故= 所以 2.10 以为研究对象。当发生正碰撞后，速度分别变为，，随即在不可伸长的绳约束下作圆周运动。以的连线为轴建立如题2.10.1图所示。 碰撞过程中无外力做功，动量守恒：① 随即在的约束下方向变为沿轴的正向， 速度变为 故 方向上有 ② 故恢复系数定义有： = 即 ③ 联立①②③得 2.12质量为的球以速度与质量为的静止球正碰。求碰撞后两球相对于质心的速度和又起始时，两球相对于质心的动能是多少？恢复系数为已知。 解 对于质心系的问题，我们一般要求求出相对固定参考点的物理量，在找出质心的位置和质心运动情况，由此去计算物体相对或绝对物理量及其间的关系。由题可知，碰前速度为，速度。碰后速度，分别设为。碰撞过程中无外力做功，动量守恒。 ① 有恢复系数 ② 联立①②得