第二节 分情况讨论.docVIP

分情况讨论的思想方法 分情况讨论的思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法.其作用是克服思维的片面性，防止漏解.要做到成功的分情况讨论，关键在于：一是要有强烈的分情况讨论意识，善于从问题情境中抓住分情况讨论的对象；二是要斟酌问题的实际情况，找出科学合理的分类标准，这个标准应当满足互斥、无漏、最简的原则. 分情况讨论的主要因素 引起分情况讨论的主要因素： （1）概念本身就是分类定义的； （2）有些性质、公式在不同的条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件和结论不唯一时，也要进行分类； （5）解含参数的题目时，必须要根据参数的不同取值范围进行讨论； （6）在推理过程中，遇到数量的大小确定、图形的位置或形状不确定的，只有分情况讨论，才可保证结论完整. 解题过程中的分情况讨论一般分为四个步骤： （1）确定讨论对象，确定对象的全体； （2）进行合理分类，分类应按同一标准，标准不同分类的结果也就不同，但要做到不重复不遗漏； （3）逐类讨论，分类进行； （4）归纳并小结. 在数学中，我们有时需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考察.这种分情况思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是解决问题的一种重要策略. 〖HT5SS]王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40 m，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15 m（水渠的宽不计）.请你计算这块等腰三角形菜地的面积. 【思路导析】本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要分情况讨论题目中的等腰三角形.因没说清楚是什么样的等腰三角形，因此需对此进行分类讨论，分三种情况. 解：根据题意，有三种情况， （1）当等腰三角形为锐角三角形时（如上图甲所示）， ∵AD=BD=20,DE=15, ∴AE=202+152=25. 过点C作CF⊥AB于点F.则DE∥CF. ∴DECF=AEAC.∴CF=15×4025=24. ∴S△ABC=12AB·CF=12×40×24=480 (m2). （2）当等腰三角形为钝角三角形时（如上图乙所示）， 过点A作AF⊥BC于点F. ∵AD=BD=20,DE=15,∴BE=25. ∵△BDE∽△BFA,∴BDBF=BEAB=DEAF. ∴BF=20×4025=32. ∴BC=2×32=64，AF=24. ∴S△ABC=12×64×24=768 (m2). （3）当等腰三角形为直角三角形时（如上图丙所示）， 则易知DF=12AC=12×40=20,与已知不符，故此情况不可能，综合（1）（2）（3）可知这块菜地的面积为480 m2或768 m2. 1.如右图所示，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A,B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q. 问：是否存在点P，使得QP=QO：（填“存在”或“不存在”）.若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由. 2.已知：如右图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点，点P在BC边上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为. 已知关于x的方程kx2+2(k+4)x+k-4=0. （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）若等腰△ABC的一边长a=3,另外两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 【思路导析】关于x的方程kx2+2(k+4)x+k-4=0，当k=0时，为一元一次方程；当k≠0时，为一元二次方程. 解：（1）①当k=0时，方程为8x-4=0，此时有根x=12. ②当k≠0时，Δ=4(k+4)2-4k(k-4)≥0, ∴k≥-43,且k≠0. 综上所述，当k≥-43时，方程有实数根. （2）①当a=b=3或a=c=3时，由题意知，3为方程kx2+2(k+4)x+(k-4)=0的根，将x=3代入方程得9k+6k+24+k-4=0,解得k=-54. 此时方程为-54x2+112x-214=0,解得x1=3,x2=75， 故△ABC的周长为3+3+75=725. ②当b=c时，则方程有等根，由（1）中易知，此时k=-43， 方程为-43x2+163x-163=0,解得x1=x2=2.故△ABC的周长为3+2+2=7. 综上所述，△ABC的周长为725或7. 1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求这个一次函数的表达式. 2.已知实数a，b满足条件：a2-7a+2=0，b2-7b+2=0.求