第五章 离散时间系统.docVIP

第五章 离散时间系统 设计连续时间滤波器一般是先寻求一个S域的传输函数，使其频率特性满足滤波器的设计要求，然后用电路去实现这个函数。下一章要讲的开关电容滤波器属于离散时间系统。从电路结构上讲，开关电容滤波器使用开关电容的模拟电阻代替欧姆电阻而实现的模拟滤波器，它的设计方法与连续时间滤波器相似：第一步是将目标滤波器的s域传输函数正确转换成Z域传输函数。显然，如何把有理的s域传输函数转换成有理的Z域传输函数是非常有用的。 设计滤波器最关心的是它的频率特性，所以从开关电容滤波器的综合来讲，把s域传输函数转换到z域传输函数必须同时满足一下两个条件： 稳定的s域传输函数映射成稳定的z域传输函数，也就是说， 把s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； 把s平面的虚轴映射到z域的单位圆上。 第一条保证所得的Z域传输函数是稳定的，第二条不仅保证它是稳定的，而且能够保证滤波器的增益特性不变。 5.5.1 标准z变换 标准z变换中的s与z之间的关系为：将s用直角坐标表示，z用极坐标表示，即令则 z的模和幅角分别为 这表明，z的模与s的实部有关，而幅角与s的虚部有关。当 ，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上； ，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内； ，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆外。 当w=0时，=0，即s平面的实轴映射到z平面的正实轴上。当w=w1时，，即s平面中的与实轴平行的水平线映射成z平面中从原点出发，夹角为的射线。由于是的周期函数，当w从变到时，从变到，z平面上的幅角转了一周，即s平面上与实轴平行的、高度为的横带映射整个z平面。 对于取样频率为的取样数据系统，则每当w增加一个，将增加一个，z平面就被旋转覆盖一次。显然，s平面中在范围内（n=0，1，2，……）的水平横带，映射到z平面上时依次相互覆盖的。 从上述分析看到，标准z变换式是满足网络综合的两个条件，但是由于z和s之间是指数关系，所以不宜用于网络综合。 5.5.2 欧拉近似变换 在网络综合中用的s和z之间的变换是欧拉近似法得到的。欧拉近似法是一种数值积分技术，它把连续时间函数的微商用某种有限差分来逼近，从而把微分方程变成差分方程，导出复变量s与z之间的变换关系s=f（z）。显然，用不同的数值积分技术将得到不同的变换关系。在网络综合中，用的近似变换有四种，下面分别予以介绍。 前向差分 前向差分可用下图表示。 设流过电容的电流为i(t)，则在(n-1)T到nT之间电容上的充电电荷等于途中曲线下的面积。即： 前向差分变换把充电电荷用中矩形面积来近似，矩形的高等于i[(n-1)T],即 这是一个差分方程，其z变换为 或 得到 在s域中，电容上的电压与电流的关系为： ，与上式比较得： 后向差分变换 后向差分变换可用下图表示： 它把电容的充电电荷用高为i(nT)矩形面积近似，即： 其z变换为： 或 因此可得： 由图可知，后向差分变换的取样时间比前向差分变换延迟了一个周期T。在z域中延迟一个周期相当于引入因子，所以前向差分变换的s表达式乘以就应该得到后向差分变换的s表达式，与计算结果相符。 无损离散积分（LDI）变换 无损离散积分变换可用图表示： 它用长边等于i[(n-1/2)T]的矩形面积近似，即： 其z变换为： 或 因此可得：下面的变换关系： 将上式乘以，即把LDI的取样时间提前半个周期，即得前向差分变换的s表达式；而乘以，即延迟半个周期，则得到后向差分变换的s表达式。 双线形变换 双线形变换可用下图表示： 它以{i(n)T+ i[(n-1)T]}/2为近似矩形的高。即： 其z变换为： 或 因此可得： 5.5.3 四种近似变换的映射 前面学到的四种z和s近似变换，这些变换都是代数式。本节讨论这四种变换是否满足两个变换的条件。 前向差分变换 前向差分变换关系已经给出，将代入可得：，对于s平面的左半平面，有，所以z平面实部，这表明s平面的左半平面影射到z平面上实部为1的垂线的左边。如图所示： S平面的虚轴相当于，所以。即：s平面的虚轴映射到z平面实部等于1的垂直线上，如上图所示。 显然，前向差分变换不满足条件（1）、（2）。但在很小的内，虚轴映射的垂线与单位圆近于重合而满足条件（2），也就是说，当，即当工作频率远小于取样频率时，前向差分变换可以应用，但系统可能不稳定。 后向差分变换 后向差分变换关系已经在前面给出。将s平面的虚轴表达式带入可得： 当时，。这表明，s平面的虚轴映射到z平面上，使映射到以实轴截距等于1/2的点位圆心，以1/2位半径的圆周上。将带入后向差分的s表达式中，可得：。 对于s平面的左半平面，，带入上式，得，即s平面的左半平面映射到上面提到的偏心圆内，如图所示： 显然，后向差分变换满足条件（1），但不满足条件（2）,也不是完全