空间轴对称问题的基本微分方程.docVIP

空间轴对称问题的基本微分方程 在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标、、比用直角坐标、、方便得多，如以轴为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是和的函数，不随而变。如图，取微小六面体。注意到应力分量是（，）将各面上的应力分量写出。单位体积内的体积力在r、z方向的分量分别表示为、。根据单元体在r和z方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以，因为很小，近似认为，加以整理后得到r方向和z方向的平衡微分方程为： 图1柱坐标下微小六面体 公式（1） 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程： 设u、w分别代表r及z轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到 ，，，， 公式（2） 最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程： 公式（3） 或 公式（4） 式中，为体积应变。 上式中共有10个未知数，必须满足（1）（2）（3）或（4）等10个方程式。 当体积力时，将（4）代入（1），并采用记号，便可得到以位移表达的平衡方程，即为解空间轴对称问题的位移法的基本方程： 公式（5） 当由（5）式解得满足边界条件的位移函数后，代回（2）、（4）等式，即可求得应变及应力分量。 空间轴对称问题 现举一个按以上位移法基本方程求解空间轴对称问题的例子，即具有重要实际意义的布希涅斯克（J.V.Boussinesq）问题。 设在弹性半空间体（即在一个方向有界面，在其余各方向皆为无限大）的界面上，受垂直于界面集中力P的作用，如图2所示。现用位移法求些时的位移及应力分量。 （一）求位移函数u、w 对此空间轴对称问题，把z轴放在P力作用线方向，将P力作用点作为坐标原点。因此，当用位移法求解时，问题在于如何求出方程式（1-5）的解，并使之满足边界条件。 可找到方程式（1-5）的两组特解，亦即满足方程式（1-5）的两组位移函数，其中第一组为： 图2 弹性半空间体界面集中力 （1） 其第二组为 （2） 式中r和z是被考察点M的两个坐标，是被考察点M到坐标原点O的距离。、是两个任意常数。 为此，可将二阶偏微分方程式（1-5）的通解写为： （3） 现已找出能基本方程的位移函数。以下将利用边界条件确定常数、。 将（3）式的结果代入到（1-4）并注意到，则可得到以下四个应力分量的函数： （4） 由于在边界上无剪应力，则时，，由式（4）最后一式可得到： （5） 另外，过M点作一个与边界面平行的面，将弹性半空间体的上部切下，根据被切下部分的z方向的平衡条件： （6） 将（4）式中的代入（6）式积分后可得到： （7） 联立式（5、（7）可得： （8） 将（8）式代入（3）式，最后得位移函数为： （9） （二）求应力分量 将（8）式代入（4）式，可得到应力分量的计算公式为： （10） （三）讨论 由以上所得的（9）、（10）可以看出，随着R的增大，位移和应力都迅速减小。当时，位移和应力分量皆趋于零。这说明此物体受力状态下的应力与位移带有局部的性质。 又当时，各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P作用点处早已进入塑性，由于实际载荷也不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，所以实际应力也不是无限大。以上位移和应力公式根据圣维南原理，只在稍离接触区的地方才是正确的。 由（10）式可以得到：当时，在弹性半空间表面边界上的各点： （11） 也就是说，边界表面上各点受到纯剪切作用。 又当，时，亦即在z轴上的各点，由（10）可得： （12） 这说明，在z轴上各点受到两向拉伸，一向压缩，它的主应力分别为 （13） 以绝对值比较，比径向及周向应力，大得多。 以上结果是研究接触问题的基础，因此是很重要的。