第五章线性空间与线性变换第一讲.pdfVIP

第五章 线性空间与线性变换 本章的主要目的使学生掌握线性 空间子空间,特别是不变子空间的性 质,线性变换的核与值域及矩阵的性 质,直和的条件. 第一讲 子空间 一、重要公式和结论 1.线性空间和子空间 (1) V是线性空间,, V, 则  V；k V；满足一定的运算规则,k F, F是域. (2) V和V 是V的子空间, 则V +V ，V V 是V的子空间, 但一般V V 不是V的子空间. 1 2 1 2 1 2 1 2 维数公式:dim V dim V dim(V +V ) dim(V V ) 1 2 1 2 1 2 (3) V 与V 的直和V V : 设V V +V , 则 V V V xV有x x  x 且表示法唯一， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 其中x V ,i 1,2  零向量表示法唯一 （若x x ＝0， x V ,则x ＝0）V V ＝ 0 i i 1 2 i i i 1 2   dim V dim V dim V 1 2 特别若  ,  是V的一组基，V ＝L(  ), V L(  ), 1 r r+1 n 1 1 r 2 r+1 n 则 V V V 1 2 (以上条件可推广到多个子空间的直和) 2. 线性变换及其子空间 (1) 线性变换A满足A(  ) A A，A(k) kA，A的定义域和值域都是V (2) 设  是V的一组基，则 A在这组基的矩阵定义如下： 1 n a11 an1    若A a  a   a  ， 1i n ,则 A的矩阵为A i i1 1 i 2 2 in n     a a