第一讲线段角的计算与证明问题.docVIP

第一讲 线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。 第一部分 真题精讲 【例1】（2010，崇文，一模） 如图，梯形中，，．求的长． 【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下. 【解析】 作于于 ， 四边形是矩形． 是的边上的中线． 在中， 【例2】（2010，海淀，一模） 已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点O，，求的长. 【解析】 过点作交的延长线于点. ∴ . ∵ 于点, ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ 四边形为平行四边形. ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ 【例3】（2010，东城，一模） 如图，在梯形中，，，为中点，．求 ． 【解析】 过点作的垂线交于点，交的延长线于点. 在梯形中，，是的中点， 在和中， . ∴ ∵，. 在中，， . 在中， 过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形 平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形 延长梯形两腰交于一点构造三角形 平移对角线，转化为平行四边形+三角形 连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形 以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。 【例4】 （2010，延庆，一模） 如图，在梯形中，，，过点作，交的延长线于点，且，求的长． 【解析】： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ 【例5】（2009，西城，一模） 已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图， 【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，得到了△PFA △AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。 【解析】： 如图，作AE⊥PB于点E． ∵ △APE中，∠APE=45°，， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴ ． 如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G． 在Rt△AEG中，可得 ， （这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系） ，． 在Rt△PFG中，可得，． 【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。 第二部分 发散思考 通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。 【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥B