第八章多元函数积分习题.docVIP

第八章 多元函数积分学 【内容提要】 1. 二重积分的定义 (1) 二重积分的定义 设函数在有界闭区域上连续，将区域任意分成个小区域，并以表示第个小区域的面积。在上任取一点，作乘积并求和式。如果最大小区域的面积趋于零时该和式的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分(double integral)，记作，即 这是从曲顶柱体的体积与平面薄片的质量两个实际问题抽象出来的。 (2) 直角坐标系下二重积分的表达式 由于面积元素在区域上的划分可以任意，用平行于轴和轴的直线来划分区域，此时，则 2. 二重积分的计算 (1) 直角坐标系下二重积分的计算 通过讨论计算曲顶柱体的体积，推导出将二重积分化为二次定积分的乘积。具体计算公式为 利用公式计算时，关键是根据题意画出积分区域，然后确定积分顺序，以最简便为原则。 (2) 极坐标系下二重积分的计算 利用微元法，即用“近似、求和”方法，推得在极坐标系下二重积分的公式 凡是积分区域是圆域、扇形域、环形域等区域，被积函数如的二重积分，采用极坐标计算可使问题大为简化。 3. 曲线积分 (1) 对弧长的曲线积分 采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，通过讨论曲线弧段上的质量分布，得到对弧长的曲线的定义式，即 对弧长的曲线积分中，虽然被积函数是，但由于点被限定在曲线弧上，故、只有一个独立变量。利用的方程可消去一个变量，将曲线积分化为定积分来计算。具体有四种情形： 其中：， 其中： 其中： 其中：， ， (2) 对坐标的曲线积分 通过对变力沿曲线做功问题的讨论，采用对弧长曲线积分类似的方法，得到对坐标的曲线积分的定义式，即 对坐标的曲线积分中，，中点同样限定在曲线上，也只有一个是独立变量，也可将曲线积分化为定积分。具体有四种情形： 其中、 其中 其中， 其中，， 4. 格林公式 在以为边界的简单闭区域上具有连续的一阶偏导数，由二重积分并根据曲线的性质和计算方法，可推得二重积分对坐标的曲线积分的关系，即格林公式： 若取格林公式的特殊情况，可得到计算平面圆形的面积公式： 在实际应用中，利用格林公式可将闭合路径上的曲线积分转化为在所围成的区域上的二重积分；反之，也可将在上的二重积分转化为在的边界上的曲线积分。另外还可计算区域的面积。 由格林公式可以推得曲线积分在内与路径无关。即沿内任意闭合曲线的曲线积分为零的充要条件是： 5. 重点解析 本章重点讨论二元函数的积分学。讨论过程中要时刻与一元函数的定积分时的思路、性质、方法作对比。在一元函数中，定义域仅在轴上，而二元及以上函数的定义域是平面或空间区域，对应的图形是空间的曲面或空间体。在二重积分中首先要根据已知条件画出区域，然后选择最简便的积分顺序，最后进行二次定积分。在曲线积分中要明确要求，利用对弧长和对坐标的积分公式进行计算。 定积分、二重积分、二种曲线积分之间有一定的联系，都是和式的极限。定积分是区间上某种和式的极限；二重积分是区域上某种和式的极限；曲线积分是曲线弧段上某种和式的极限。在一定条件下，二重积分可以转化为二次定积分；可以将二种曲线积分转化为一次定积分，从而，解决了二重积分和曲线积分的计算问题。另外，格林公式揭示了二重积分与对坐标的曲线积分的关系，给出了对坐标的曲线积分与路径无关的条件，使之化为最简便的定积分的形式。 【习题解答】 8-1 将二重积分化为二次积分，积分区域分别为 (1)为，，围成的区域； (2)为，，，(,)围成的区域； (3)为围成的区域； (4)为，，围成的区域； (5)为，围成的区域。 解 (1) 区域为-型区域，即有 (2) 区域为既是-型又是-型区域，故有 (3) 区域为既是-型又是-型区域，即有 (4) 区域为-型，即有 (5) 区域为既是-型，即有 8-2 更换下列二次积分的次序。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 解 (1) 积分区域：，，则更换后的二次积分为 (2) 积分区域：，，则更换后的二次积分为 (3) 积分区域：，，：，，则更换后的二次积分为 (4) 积分区域：，，则更换后的二次积分为 (5) 积分区域：，，则更换后的二次积分为 (6) 积分区域：，，则更换后的二次积分为 8-3 计算下列二重积分。 (1) ，是与围成的区域； (2) ，是与围成的区域； (3) 确定常数，使，是，，围成的区域； (4) ，是以，，为顶点的三角形区域； (5) ，是，，，围成的区域，设 ； (6)，是以，，为顶点的三角形区域； (7)，是，，与围成的区域。 解 (1) 积分区域既是-型又是-型区域，则先对和先