正多边形对称群的性质.pdfVIP

第 1O卷第 1期 杭州师范大学学报 (自然科学版 ) Vo1．1ONO．1 2011年 1月 JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Jan．2O11 DOI：10．3969／j．issn．1674—232X．2011．01．003 正多边形对称群的性质 顾艳红，李 扉 (北京林业大学理 学院，北京 100083) 摘 要 ：利用 M．Chasles定理研究了正多边形对称群元素 的类型 ，并对这种群 中任意两个变换 的乘积进行 了讨论 ，由此解决 了正多边形对称群 的结构问题 ，即正 ”边形对称群 由其中任意一个反射变换和任意一个 阶为 的旋转变换生成． 关键词 ：正多边形 ；群 ；对称群 中图分类号 ：0152 MSC2010：20B25 文献标志码 ：A 文章编号 ：1674—232X(2O11)01一OO15一O3 群是研究对称性的有力工具，在文献 中也常有 “对称即群”的说法．常见的平面图形 ，如圆、正方形 、等 边三角形等 ，虽然都具有一定的对称性 ，但它们对称性的强弱显然不一样．在代数 中，可以用平面图形 的对 称群来刻画平面图形的对称性．正多边形对称群又称二面体群 ，它是一种特殊的有限群，也是一种较具体 的群 ，有关这种群的研究主要涉及 它 的一些 性质 以及 应用口]，在此 主要 研究正多边形对称 群 的一些 性质． 引理 1] (M．Chasles定理)平面的运动有且只有下列 3种 ： 1)沿任一给定向量的平移 ； 2)以任意点为中心的旋转 ； 3)绕某一直线作翻折再沿该直线上的一个 向量作一个平移 (包括作纯翻的情况)，即关于该直线的反射． 引理 2_5 设群中元素 n的阶是 n，则 ln l一 ，其中k为任意整数． ，71， 由引理 1易得下面有关正多边形对称群 的元素类型的性质 ． 性质 1 1)正2n(n≥2)边形的对称群G 一 {y，7，…，y ，r 一， ，∞ ．．，叫}，其中：y表示绕正多 边形中心O逆时针旋转 转角的旋转变换 ， ， 分别表示关于对顶点连线的反射变换和对边中点连线 的 反射变换 ； 2)正2，z+1(n≥1)边形的对称群G计 一 {)，，y，…，y州7／1，…，升 }，其中：)，表示绕正多边形中心 0逆时针旋转 转角的旋转变换 ， 表示关于正多边形顶点和其对边中点连线的反射变换． 收稿 日期 ：2010—09—09 基金项 目：中央高校基本科研业务费专项 资金资助． 作者简介 ：顾艳红(1975 )，女，湖南湘阴人，讲师，硕士，主要从事同调代数与近世代数研究．E—mail：yanhong—gu@126．corn 16 杭州师范大学学报 (自然科学版) 2011正 推论 1 设 G为正 ，2边形 的对称群 ，则lGl=2n． 性质 2 设 G为正 边形 的对称群 ，7表示绕正 边形 中心0逆时针旋转 转角的旋转变换，则 fL 1)对旋转变换7，f7l一 ，i=1，2，…，； ’Z， 2)对任意反射变换g，lgl一2． 证明 1)由于 y表示绕正 边形中心0逆时针旋转 转角的旋转变换 ，当in时，yt表示绕正 边 儿 形 中心0逆时针旋转 (2兀)角度的变换 ，该变换使正 边形 回到 自身 ，但是除了中心0外 ，其余点的位