第六章 环 信安数学.pptVIP

巫玲 Wuling751@126.com 第六章 环（Ring） 6.1 环(ring)的定义 研究具有二个二元运算的代数系统，如（R,+,*) 定义6-1 若（R,+,*）中，R为非空集合，+，*为二元运算，满足 (R,+)是一个交换群 (R,*)是一个半群 两个运算符满足分配律： 则称（R,+,*）为环 典型的环:Z,+,× 6.1 环(ring)的定义 环（R,+,*）中： 若(R,*)是交换半群则环（R,+,*）称为交换环 若(R,*)有单位元，则环（R,+,*）称为含幺环 (R,+)被称为加法群， (R,*)被称为乘法半群，(R,*)一定不能构成群 (R,+)中的单位元被称为环的零元（*的零元）;(R,*)中的单位元被称为环的单位元 ;(R,+)中的逆元被称为负元，记做:-x; (R,*)中的逆元被称为逆元记做:x-1 6.1 环(ring)的定义 定理6-1 （R,+,*），任意的a,b,c∈R （1）a*0=0*a=0 加法的单位元是乘法的零元 （2）a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) 思路：a*(-b)=a*(0-b)=a*0-(a*b)=-a*b （3）(-a)*(-b)=a*b （4）a*(b-c)=a*b-a*c （5）(∑ai)* (∑bi)= ∑ ∑(ai*bi) 6.1 环(ring)的定义 定义6-2 （R,+,*）是环，S是A的非空子集，若（S,+,*）也构成环，则称 （S,+,*）是（A,+,*）的子环 （A,+,*）是（S,+,*）的扩环 如：整数环、有理数环均是实数环的子环 子环判断条件：对任意的a,b∈S，有 a-b ，ab∈S 6.2 整环和域（field） 定义6-6 域（R,+,*）： 若环（R,+,*）满足 (R*,*)是交换群,R*=R-{0} 则称（R,+,*）为域或体 例： (Z,+,*) ,(Q,+,*), (R,+,*)为交换环和含单位元的环 (Q,+,*), (R,+,*)还构成域 仿射密码可以由剩余类环（Z26,+26,*26）刻画 p为素数，则剩余类环（Zp,+p,*p）为域，该域称为有限域，写为GF(p)，最常用的GF(2):异或就是GF(2)上的+2 6.2 整环和域（field） 定义6-4 零因子(divisor of 0) 环（R,+,*）中，a,b∈R, a,b≠0, a*b=0,则称a,b为环R中的零因子，如Z26中13和2是零因子，但(Z5 ,+,*）无零因子 若环（R,+,*）无零因子，则称为无零因子环：只要环的*满足消去律，就无零因子 思路，反证， a,b≠0, a*b=0=a*0，所以b=0，矛盾 有单位元的交换的无零因子环称为整环 p为素数=剩余类环（Zp,+p,*p）为整环 整数环与所有的域都是整环 有限整环都是域 思路： b≠c时， a*b≠a*c，所以R*b=R,所以存在r*b=1 练习 证明：有零因子的环不是域 因为有零因子，不妨设a,b≠0,ab=0 若a有逆元a-1 a(a-1 +b)=e a-1 = a-1 +b b=0 矛盾 6.2 整环和域（field） 除环 （R,+,*）为含幺环，若每个a∈R, a≠0对*都存在可逆元，则称为除环（近似：乘法可以变为除法） 其实就是除了0以后对乘法构成群 也叫斜域 所谓的域就是可换除环 总结 域 整环 无零因子环 含幺环 可交换环 环 Abel群 群 半群 A B 表示满足A则满足B 除环 6.3 多项式环 R为交换环，x∈R, R[x]={f(x)=∑aixi|n∈Z,ai ∈R} 则称（R[x],+,*)为R上的多项式环 抽象代数里一般不给x赋某个值，如f(5) R为其子环 如Q,R分别为有理数域和实数域，则Q[x]和R[x]分别为有理多项式环和实多项式环。 若R为整环，则R[x]为整环，两个有可逆元的元素对应 如整数环中，1和-1有可逆元，则Z[x]中有可逆元的元素只有令此多项式1和-1（此时单位元为1） 其实这里的Z[x]就是我们常说的整系数多项式 n 0 6.3 多项式环 多项式环 若f(x),g(x) ∈ R[x], g(x) ≠0,存在q(x)∈ R[x],q(x) ≠0使得f(x)=g(x)*q(x)，则称f(x)可约，否则f(x)是R(x)的不可约多项式，也可叫素式 q[x]使用类似整数的带余除法来生成，最大公约、最小公倍、同余、互质、线性表达、唯一分解定理等思想一致 所以两个多项式可形成相除后有商有余的关系 素式地位如同素数 如果f(x)可约，则可以