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2014世纪金榜第二章 第七节
【互动探究】若本例题(1)中,函数y=f(2x+1)是“偶函数”改 为“奇函数”,则函数y=f(2x)的图象关于点____成中心对称. 【解析】∵y=f(2x+1)是奇函数, ∴f(2x+1)的图象关于原点(0,0)对称. 又f(2x)的图象可由f(2x+1)的图象向右平移 个单位得到, ∴y=f(2x)的图象关于点( ,0)成中心对称. 答案:( ,0) 【拓展提升】知式选图的方法 (1)从函数的定义域,判断图象左右的位置;从函数的值域,判断图象上下的位置. (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的极值点,判断图象的拐点. 【提醒】注意联系基本函数图象的模型,当无法排除错误图象时,代特殊值,或从某些量上寻找突破口. 【变式备选】函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是______. 【解析】方法一:∵函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原点,故可以排除③④.由于当x为很小的正数时,f(x)0且g(x)0,故f(x)·g(x)0.故应为①. 方法二:由函数f(x),g(x)的图象可知,f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数,则f(x)·g(x)是奇函数,可排除②,又∵函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原点,可以排除③④,故应为①. 答案:① 考向 3 函数图象的应用 【典例3】(1)(2013·淮安模拟)若函数f(x)满足f(x+1)= -f(x),且x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为_______. (2)已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0. ①求实数m的值. ②作出函数f(x)的图象并判断其零点个数. ③根据图象指出f(x)的单调递减区间. ④根据图象写出不等式f(x)0的解集. ⑤求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}. 【思路点拨】(1)利用函数的性质在同一个坐标系中作出两函数的图象后观察交点的个数. (2)求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式,再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进而应用图象求解②③④⑤四个小题. 【规范解答】(1)∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数,周期T=2, 作两函数的图象如图所示: 故交点个数为4个. 答案:4 (2)①∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4. ②∵f(x)=x|m-x| =x|4-x| = ∴函数f(x)的图象如图: 由图象知f(x)有两个零点. ③从图象上观察可知:f(x)的 单调递减区间为[2,4]. ④从图象上观察可知: 不等式f(x)0的解集为{x|0x4或x4}. ⑤由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则0m4, ∴集合M={m|0m4}. 【拓展提升】 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 第七节 函数的图象 1.六种基本初等函数的图象 一次函数 y=kx+b (k≠0) 图象 函数 反比例函数 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象 函数 对数函数y=logax (a>0且a≠1) 指数函数y=ax (a>0且a≠1) 图象 函数 幂函数y=xα (α=-1, 1,2,3) 图象 函数 2.函数图象间的变换 (1)平移变换: f(x)+k f(x+h) f(x)-k f(x-h) (2)对称变换: ①y=f(x) y=______; ②y=f(x) y=______; ③y=f(x) y=_______; ④y=ax(a0且a≠1) y=__________________ 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 关于y=x对称 -f(x) f(-x) -f(-x) logax(a0且a≠1). (3)翻折变换: ①y=f(x) y=_______. ②y=f(x) y=_______. 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 关于y轴对
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