7-6第六节 空间直线及其方程.pptVIP

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第六节 空间直线及其方程 一 空间直线的一般方程 A1 x+B1 y+C1z+D1 =0, A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 L π1 π2 y x z 空间直线L可以看作是两个平面的交线,如果两个相交 的平面π1 和π2的方程分别为 空间直线的方程不是 唯一的. 二 空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量. 则在L直线的点应该同时满足这两个方程. 如果点M不在直线L上,它就不满足上面 的方程组.由此可见 上面两个方程是空间 直线的一般方程. 通过直线L的平面有很多个,上面方程 的形式就不少.因此 如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为 直线的方向向量.由此可见一条直线的方向向量不是唯一 的.任何非零向量只要平行于已知直线,就是该直线的 设点M(x,y,z)是直线L上的一点,则 过空间一点可作而且只能作一条直线平行于已知直线. 当直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量S={m,n,p} 为已知时,直线L的位置就完全确定了.现在我们来建立这 直线方程. S M0 M L y x z 方向余弦也叫做直线的方向余弦 直线的对称式方程中分母可为零,此时分子也为零. 方程组(2)就是直线L的方程,称为直线的 对称式方程.直线的任一方向向量S的 坐标m,n,p叫做这直线的一组方向数.S的 方程组(2)中m,n,p不能同时为零.为了简便起见,我们允许 的参数方程, t叫做参数. 的方程组为 个平面的法向量,于是取 不同的t就得到直线上不同的点,所以方程组(3)称为直线 现在我们把直线的一般式方程化为对称式方程.设直线L 1,求出直线L上的任意一点(x0,y0,z0).可先取x=x0,由(4),(5) 得到y0,z0 2,求直线L的方向向量S={m,n,p}.因为直线L是由方程(4),(5) 所确定的两平面的交线,因此它的方向向量同时垂直于这两 最后得到 得到 例1 设直线的一般方程为 2x-3y+z-5=0, 3x+y-2z-2=0. 求这直线的对称式方程和参数方程. 解:求直线上的一点,为了简便起见,我们取z=0,代入方程组 这直线上的一点为(1,-1,0) 2.求直线的方向向量 直线的对称式方程 直线的参数方程 s={x2-x1,y2-y1, z2-z1},所以直线方程为 交线平行,故直线的方向向量同时和两平面的法向量垂直. 称为两点式方程 例2 求通过两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的直线方程. 解: 因为直线过M1,M2 两点,所以可取它为方向向量 例3 求过点{-3,2,5}且与两平面x-4z=8,2x-y-5z=1的交线 平行的直方程. 解: 设所求直线的方向向量为S={m,n,p}而两平面的法向量 分别为 n1={1,0,-4},n2={2,-1,-5} 由于所求直线与平面的 由直线的方向向量知道所求直线方程为 三 两条直线的夹角 1,定义:两条直线的方向向量的夹角叫做两条直线的夹角. 和直线 2,求法 设有直线 它们的方向向量为 根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦 两条直线垂直的充分必要条件是 两条直线平行的充分必要条件是 公式 例4 求两条直线L1 和 L2的夹角 解:L1和L2的方向向量分别为 故两直线的夹角为 四 直线与平面的夹角 设直线L的方程是 θ φ π n L 平面的方程是 Ax+By+Cz+D=0. 因为 夹角为π/2-θ或π/2+θ 直线的方向向量S={m,n,p}与平面的法向量n={A,B,C}的 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 直线与平面垂直的充分必要条件是： 直线与平面平行的充分必要条件是 例5 求过点(1,0,-2)且与直线L相互垂直的平面方程 解:先求直线L的对称式方程: 设z=0,则方程为 用克莱姆法则,我们得到 直线上的一点为(1,-1,0) 对称式方程为 直线的方向向量为{5,7,11}. 下面,我们求直线上的一点. 直线的方向向量为{5,7,11},直线上的一点为(1,-1,0直线的 5x+7y+11z+17=0 平面方程. 平面与直线相互垂直,平面的法向量平行直线,所以平面 的法向量同直线的方向向量相同.即为n={5,7,11}. 平面的方向向量知道,并知道平面过点(1,0,-2). 于是平面的方程为 5(x-1)+7(y-0)+11(z+2)=0.即为 例6 平面过z轴,且与平面2x+y-√5z=0的夹角为π/3,求 此平面方程 分析:平面过z轴,则z轴上的任一点,例如点O(0,0,0)在所求 的平面上. 因