同济大学微积分第三版课件第二章第八节.ppt

* 第八节 洛必达法则 本节用求导的方法, 来求出某些未定型的极限. 基本 本节要点 类型为 和 以及这两种形式的变形. 问题的提出: 考虑极限 由等价无穷小, 得 再因 一、基本类型 但对于第三个极限, 利用带佩亚型余项的麦克劳林展 所以 故极限为 开式, 在上面的三个例子中, 尽管均为无穷小的商的极限, 法. 它主要针对 和 以及由这两种形式所产生的变形. 但最终的极限却呈现出不同的结果. 因而我们把这类极 限称为未定式. 洛必达法则给出了求这类极限的一个方 定理1 设 在点 的某去心邻域内可导, ⑴ ; ⑵极限 存在或为无穷大, 则: 1. 型 并且 又满足条件: 证 由于 故设 从而函数 在点 的某邻域内连续. 设 是 该邻域内的一点, 且 则在以 及 为端点的区 间上, 函数 满足柯西定理的条件, 故有 其中 介于 和 之间. 令 并对上式两端取 极限，由于 于是由条件⑵即得 注1 在使用该法则的过程中, 若 仍然是 型, 则要再一次使用该法则, 直到求出所需要的极限, 即有 所要证明的结论. 注2 在使用洛必达之前, 适当地使用一些等价无穷小 注3 若把洛必达法则中的极限过程 换成其它的 的代换会简化某些计算. 极限过程, 则有相应的结论. 具体表现为 等, 为了统一上面的极限形式, 我们用 来表示洛比达法则. 使用洛必达法则基本步骤: ⑴判定类型; ⑵适当化简; ⑶反复使用. 例1 求 解 代换 法则 例2 求 解 法则 法则 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 定理1 设 在点 的某去心邻域内可导, ⑴ ⑵极限 存在或为无穷大, 则: 并且 又满足条件: 2. 型 如同定理1, 上面的极限形式可以写成 在上面的极限过程中, 自变量可以是任何一种变化趋 势. 例8 求 解 进一步地, 可以得到 例9 求 解 进一步地, 可以得到 二、其它类型 除了前面的两种基本类型外, 还有其它三种未定型, 1. 对 型,可以通过初等的方法将其转换成上面 它们分别是: 的两种类型. 我们通过下面的例子来说明这种方法. 例10 求 解 例11 求 解 2. 型 对该种类型的常见方法是将某一项放到分母上, 从而 转变成基本类型. *