第十一章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理).ppt

分别计算期望与方差进行分析得出结论. 【解】　E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4； E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9； D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8. 由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，该选甲厂的材料． 2．A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根 据市场分析，X1和X2的分布列分别为： X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X)) 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 　　　 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. 当x＝ ＝75时，f(x)＝3为最小值. 正态分布下的概率计算常见的有两类： 1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉 及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与 x轴之间的面积为1. 2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围 与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－ σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ) 中的哪一个． (1)(2009·安徽高考)若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝__________. (2)(2010·长沙模拟)某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为 (　　) A．22.8%　　　　　　　 　B．45.6% C．95.44% D．97.22% (3)(2010·衡阳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，若P(X＞4)＝0.2，则P(2＜X＜3)＝____________. （1）利用正态曲线的对称性，对称轴为x=μ. （2）利用3σ原则. （3）利用对称性去解. 【解析】　(1)由正态曲线的性质知 P(x≤μ)＝ . (2)设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80＜X＜120)＝P(100－20＜X＜100＋20)＝0.9544. (3)由题意可知曲线关于直线x＝3对称，故P(X＞4)＝P(X＜2)＝0.2，因此P(2＜X＜3)＝0.5－P(X＜2)＝0.5－0.2＝0.3. 【答案】　(1)　 (2)C　(3)0.3 3．在本例(3)的条件下求P(2＜X＜4)，P(3＜X＜4)． 解：P(2＜X＜4)＝2×( －0.2)＝0.6， P(3＜X＜4)＝ －0.2＝0.3. 高考中常将相互独立事件、互斥事件、随机变量 的分布列、期望与方差等知识放在一起在解答题中考 查，主要考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 2009年四川卷综合考查了上述内容,能力强、立意新. (2009·四川高考)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡．