第十一章 第四节.ppt

第四节 对面积的曲面积分 surface integral 第十章 曲线积分与曲面积分 概念的引入 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算法 小结 思考题 作业 实例 解 第一步: 将Σ分为许多极其微小的子域, 以dS为代表, dS的质量为: 第二步: 求和取极限 取 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 光滑的, 它的面密度为连续函数 求它的质量. 对面积的曲面积分 一、概念的引入 1. 定义 函数 f(x, y, z)在Σ上 任意取定的点, 并作和 如果当各小块曲面的直径 这和式的极限存在, 的最大值 ① ② ③ ④ 对面积的曲面积分 二、对面积的曲面积分的定义 (第i 小块曲面的面积), 作乘积 设曲面Σ是光滑的, 有界. 把Σ 任意分成n小块 如曲面是 曲面元素 被积函数 则积分号写成 积分曲面 称 极限为函数 对面积的曲面积分 (第一类曲面积分) 闭曲面, 对面积的曲面积分 2. 存在条件 在光滑曲面Σ上 的曲面积分存在. 对面积 连续, 对面积的曲面积分 3. 对面积的曲面积分的性质 补充 设分片光滑的 x的奇函数 x的偶函数 其中 曲面Σ关于yOz面对称, 对面积的曲面积分 4. 对面积的曲面积分的几何意义 空间曲面Σ的面积: 5. 对面积的曲面积分的物理意义 面密度为连续函数 质量M: 对面积的曲面积分 质心坐标: 按照曲面的不同情况分为以下三种： 思想: 化为二重积分计算. (1) 对面积的曲面积分 三、对面积的曲面积分的计算法 (2) (3) 对面积的曲面积分 确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素; 最后将曲面方程代入被积函数, 对面积的曲面积分: 首先应根据 化为二 曲面Σ选好投影面, 曲面Σ的方程, 重积分进行计算. 对面积的曲面积分 例 解 投影域: 所截得的部分. 对面积的曲面积分 二重积分的对称性 对称性 解 依对称性知 例 抛物面 对面积的曲面积分 被积函数 为第一卦限部分曲面. 极坐标 投影域： 对面积的曲面积分 积分曲面 ) 1 0 ( : 2 2 ￡ ￡ + = z y x z S 例 所围成的空间立体的表面. 对面积的曲面积分 解 投影域 对面积的曲面积分 例 所围成的空间立体的表面. 对称性 (左右两片投影相同) 将投影域选在 注 分成左、右两片 对面积的曲面积分 对称性 计算曲面积分 其中Σ是球面 解 Σ的方程 投影域 Σ 上半球面 下半球面 不是单值的. 的值. 对面积的曲面积分 极坐标 对面积的曲面积分 计算 其中Σ为球面 之位于平面 曲面Σ: Σ 解 上方的部分. 对面积的曲面积分 因曲面Σ x3是x的奇函数， x2y是y的奇函数. 关于yOz面及xOz面对称; 例 解 积分曲面方程 轮序对称 提示 即三个变量轮换位置方程不变. 具有 轮换对称性, 中的变量x、y、z 对面积的曲面积分 解 积分曲面 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的计算 对面积的曲面积分的概念 对面积的曲面积分 四、小结 四步:分割、取近似、求和、取极限 思想:化为二重积分计算; 对面积的曲面积分的几何意义与物理意义 曲面方程三种形式的计算公式 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 对面积的曲面积分 因为若Ω为直线上的区间[a, b], 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 对面积的曲面积分 是 若Ω是平面区域G, 则 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 对面积的曲面积分 是 若Ω是空间区域, 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 若Ω为平面(空间)曲线L, 对面积的曲面积分 部分和式的极限为曲线积分 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 若Ω为曲面Σ, 则上述部分和式的极限就是 对面积的曲面积分 曲面积分 作 业 习题10-4 (219页) 3. 5. 6 (2, 4). 7. 对面积的曲面积分 * *