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第十三章 能量法 第十三章 能量法 第十三章 能量法 第十三章 能量法 第十三章 能量法 第十三章 能量法 第十三章 能量法/二 变形能 分析与讨论 (1) 从上述变形能计算结果可知： 这是因为 即 变形能是力的二次函数,一般说来,变形能不可以简单的叠加 第十三章 能量法/二 变形能 分析与讨论 (2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功. 例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲引起的转角 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 上也不作功. 利用功能原理计算位移 利用 可以计算荷载作用点的位移,但是 只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。 第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移 b l a P 例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位移 第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移 l c 2A A 第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移 解：（1）变形能计算 整根杆的变形能 第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移 （2）位移计算 即 得 第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移 分析和讨论 1 若需要位移处无外力作用,如求b截面 ,外力功表达式中无需求的位移项,因此无法求 。 2 若在该杆上作用的外力多于一个,如在b截面上还作用一个P1力,这时.外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不能求位移的大小。 四 求位移的卡氏定理 1 卡式定理 若弹性体上作用着多个外力(广义力),则该弹性 体的变形能 ,对于任一外力的偏导数, 就等于该力作用处沿其作用方向的位移(广义位移), 即 第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理 1 卡式定理的证明 设在某弹性体上作用有外力 ，在支承约束 下，在相应的力 方向产生的位移为 ，(i=1,2,…,n)。 可以证明： 第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理 证明： 再加增量 ，则变形能U的增量dU为 梁的总变形能为： (a) 考虑两种不同的加载次序。 (1)先加 ，此时弹性体的变形能为U： 第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理 * * 第十三章 能量法 结构力学 利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法 外力功 变形能 利用功能原理计算位移 四 求位移的卡氏定理 外力功 定义: 任何弹性体在外力作用下都要发生变 形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线 方向所作的功,称为外力功。 第十三章 能量法 /一 外力功 第十三章 能量法 /一 外力功 计算 1、常力作功 若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然 后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移　,　 则该力所作的功为 式中的P为广义力,　　为广义位移. ２、变力作功 　　结构上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加 载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为 第十三章 能量法 /一 外力功 3、多个力作用下的外力功 　　若弹性体上作用着几个外力(P1, P2……, Pn)时, 则所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移 乘积之和的一半; 第十三章 能量法 /一 外力功 3、多个力作用下的外力功 外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关, 而与各个力的施加次序无关 第十三章 能量法 /一 外力功 例题:计算图示简支梁上的外力功 B C A L/2 L/2 P EI EI mo 第十三章 能量法 /一 外力功 解:(1)位移计算 梁在P和mo共同作用下C 截面的位移 和B截面的转角 ： B C A L/2 L/2 P mo 第十三章 能量法 /一 外力功 解: (2)外力功的计算 第十三章 能量法 /一 外力功 分析与讨论 若先加P，后加mo，则外力功为 第十三章 能量法 /一 外力功 第十三章 能量法/一 外力功 · 计算 分析与讨论 若先加mo ，后加P ，则外力功为 第十三章 能量法/一 外力功 · 计算 分析与讨论 比较计算结果，说明： 即作用在弹性体上的所有外力作的总功W,等于这些力分别 与其相应位移乘积之和的一半。而与各个力的施加次序无