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第十三章 Laplace 变换法 本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法—变换法。所谓变换法法，早在初等数学 b 中就已经知道，比如要计算的a 值，一种简单的方法是应用对数进行计算， 其基本思想 是不直接对“数”本身进行计算，而是对对应的数进行简单的计算，这就是最简单的变 换法。取对数的运算就是作变换，对数的值就是原来数的变换象，取反对数的运算就是 反变换。在第八、第九章中计算正弦交流电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的 相量就是正弦量的“变换”象，应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数） 的计算。在数学中，为了求解微分方程，可用适当的“算子”（Operater)或积分变换将原 微分方程变成代数方程，通过简单的代数运算进行求解；然后进行反变换，这种方法成 为算子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和Z 变换。本章 采用拉普拉斯（Laplace)变换法。 第一节 Laplace 变换的定义、性质 一、定义： 1、傅立叶变换：当一个时间函数 f(t) 既满足狄里赫利条件，又满足绝对可积条件 时，其傅立叶变换成立。正、反变换分别为：  F(j ) f (t)ej t dt 1  f (t) 2F(j )ej t d 2 、由傅立叶变换到Laplace 变换： 在电气工程和无线电工程中，常见的函数一般均满足狄里赫利条件，但通常不满足 绝对可积条件，因此不能直接进行傅立叶变换。分析函数不满足绝对可积条件的原因是 当t→∞时，函数f(t)不衰减，或不但不衰减，反而增长。为了使f(t)变的绝对可积，选一 个指数衰减因子—— et ，乘以原函数f (t), 其中选得足够大，一般就可使f (t)et 的幅度在t 时不断的衰 减以趋于零，使其成为绝对可积的函数。 在电路理论中，常常把换路的瞬间记为t=0，然后研究t ＞0 的过渡过程。这就是说， 激励是从t=0 开始作用于电路的，响应也应定义在t ≥0 。因此，傅立叶变换中积分的下 限考虑到由0-到0+可能发生的跃变，故定义为0- 。即 1   F[f (t)et ] 0f (t)et ej t dt 0f (t)e(j )t dt F(j ) (1) 1  相应的傅立叶反变换：f (t)et F1 (j ) 2F(j )ej t d 1  两边同乘以et ：f (t) 2F(j )e（j ）t d（2） ds 令s j 则：ds jd d j 当时，S j  代入（1）、（2） 时，S j    F(s) 0f (t)est dt 傅立叶正变换式。 1 j  st f (t) 2j j F(s)e ds 傅立叶反变换式。 简记为：F(s) L[f （t ）] f （t ） L1[F(s)] S称为复频率。F(s)与f (t)之间是一一对应的关系。 利用拉氏变换的定义计算下列各题。 【例13-1】求单