第十三章 能量法92.ppt

* * * * * ?2 ?1 ?3 设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移. 作用有外力： F1 ，F2 ，? ，Fi ， ? 相应的位移为： ?1 ， ? 2 ，? ， ? i ， ? §13-5 卡氏定理 F1 F2 F3 结构的变形能 只给 Fi 一个增量 ? Fi . 引起所有力的作用点沿力方向的位移增 量为 ?2 ?1 ?3 F1 F2 F3 在作用 ?Fi 的过程中， ? Fi 完成的 功为 原有的所有力完成的功为 结构应变能的增量为 如果把原来的力看作第一组力，而把 ? Fi 看作第二组力. 根椐互等定理 略去高阶微量 或者 当 ?Fi 趋于零时，上式为 这就是 卡氏第二定理（卡氏定理） (1) 卡氏第二定理只适用于线性弹性体 说明 (2) Fi 为广义力;?i 为相应的位移 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶 一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移 卡氏第二定理的应用 ? 轴向拉、压 ? 扭转 ? 弯曲 ? 平面桁架 ? 组合变形 例题14 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI.梁材料为线弹 性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角. F A B C Me l a RA AB： BC： A B C l a RA F x1 x2 解： Me A B C l a RA F x1 x2 Me （ ） 例题15 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移. A B C D a a 2a Me 解 : 在C截面虚设一力偶 Mc , 在D截面虚设一水平力F. FRD FRAx FRAy Mc F CD: CB: AB: x x A B C D a a 2a Me x FRD FRAx FRAy Mc F 2a x x A B C D a a Me FRD FRAx FRAy （ ） Mc F 例题16 圆截面杆ABC，（?ABC=90°）位于水平平面内，已知 杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G . 求C 截面处的铅垂位移. 不计剪力的影响. A B C l l q BC：弯曲变形 A B l Q MB x A B C l l q F x x AB：弯曲与扭转的组合变形 （扭转变形） （弯曲变形） §13-6 计算莫尔积分的图乘法 在等直杆的情况下，莫尔积分中 的EI、GIP、EA为常量，可提到 积分号外面，只需计算, 因为 是由单位力或单位力 偶引起的弯矩, 故沿杆长方向的 图一般是由直线或折线组 成. M(x)图一般是曲线. M(x) M(x) l dx x c xc M(x) M(x) Mc M M M(x) x l x ω xc C 对于等直杆有 即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x) 图形心C对应的 的乘积来代替 Mc 当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. 也应按弯矩符号给以正负号. Mc b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l/4 l/4 注意 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 有时M(x)图为连续光滑曲线，而 为折线，则应以 M(x) 然后求其和. 例18 均布荷载作用下的简支梁，其 EI 为常数. 求跨中点的挠度. A B C q l/2 l/2 F A B C l/2 l/2 以 图的转折点为界，分两段使用图乘法. M(x) C1 C2 A B C q l/2 l/2 A B C F l/2 l/2 C1 C2 例19 图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力F作用. 用图乘法求： (1) 集中力作用端挠度为零时的F值； (2) 集中力作用端转角为零时的F值. F C A B a l q F C A B 解： a a l q M ql2/8 Fa 1 A B a l C M 例20 图示开口刚架，EI=const. 求A和B两截面的相对角位移 θAB 和沿F力作用线方向的相对线位移 ΔAB . a a a/2 a/2 A B F F a/2 B a a a/2 A 解： Fa/2 a/2 F F Fa/2 Fa/2 a/2 a/2 1 A 例21 图示刚架，EI=const. 求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA . B A a a q a qa/2 qa2/2 解： B A a a a B A a a B a B