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第十三章 动量矩定理 1. 质系动量矩 为质系中各质点的动量对O 点之矩的矢量和，或质系动量对于O 点的主矩，称为质系 对O 点的动量矩。 质系对于某轴，例如z 轴的动量矩为 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 质系对任意一点的动量矩，等于质系对质心的动量矩，与将质系的动量集中于质心对于 O 点动量矩的矢量和。 2. 质系动量矩定理 质系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即 在直角坐标系上的投影式 动量矩守恒定律：在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质系对O 点的动量矩为 一常矢量，即 常矢量 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如 ，Lx 常数 3. 刚体绕定轴转动微分方程 或 4.刚体对轴的转动惯量 称为刚体对z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对z 轴分布状态的一个物理量，是刚体 转动惯性的度量。 在工程中，常将转动惯量表示为 称为回转半径。 转动惯量的平行轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心，并与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即 5. 质系相对质心动量矩定理 在相对质心平动坐标系的运动中，质系对质心的动量矩对于时间的一阶导数，等于外力 系对质心的主矩，即 或 6. 刚体平面运动微分方程 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得 上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题。 7. 陀螺仪的近似理论 赖柴尔定理：质系对固定点的动量矩矢量端点的速度等于外力系对同一点的主矩。即 实际上赖柴尔定理是质系动量矩定理的几何解释。 陀螺绕其对称轴高速转动，其角速度为 ，在计算陀螺对固定点O 的动量矩时可忽略 由于进动角速度 引起的动量矩分量。陀螺对O 点的动量矩可近似地表示为 。 动量矩矢量方向近似与自转轴重合，大小等于 。 质系动量矩定理建立了质系动量矩的变化率与作用于质系上外力系的主矩之间的关系。应用 动量矩定理所建立的刚体绕定轴转动微分方程；以及由上章的质心运动定理和本章导出的相 对质心动量矩定理所建立的平面运动微分方程，是解决刚体动力学的有效工具。 §13-1质系动量矩定理 1. 质点动量矩定理 如图13-1所示质点M 的动量 对于O 点的矩，定义为质点对于O 点的动量矩，即 （13-1） 质点对于O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r 与动量mv 所形成的平面，指向按右手法 则确定，其大小为 将式 （13-1）对时间求一次导数，有 得 （13-2） 式 （13-2）为质点的动量矩定理，即：质点对固定点 的动量矩对时间的一阶导数等于作用 于质点上的力对同一点的力矩。 2. 质系动量矩定理 设质系内有n 个质点，对于任意质点Mi 有 式中 分别为作用于质点上的内力和外力。求n 个方程的矢量和有 式中 ， 为作用于系统上的外力系对 于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有 令 （13-3） 为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得 （13-4） 式 （13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。 （1）具体应用时，常取其在直角坐标系上的投影式