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维普资讯 力 学 与 实 践 2002年 第 24 卷 细长杆屈曲后中点位移的确定 张业民 李顺群 王丽君 (辽宁工学院，锦州 121001) 摘要 利用精确的曲率表达式建立了Euler杆在考虑 几何非线性时的微分方程，编制 了求解程序，通过算 例揭示 了压力大于分叉荷载时压力与 中点屈曲位移 的 关系．研究表明，当压力达到分叉点时， Euler杆不 但不会丧失承载力，相反其承载力却有一定程度的增 长．研究结论与实验结果完全吻合． 关键词 Euler杆，平衡构形，分叉荷载，失稳 1 问题的提出 压杆稳定问题是工程中的常见问题．当压力小于 分叉荷载时，由于外界扰动使杆件偏离初始平衡构形， 外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，此 时称为稳定的平衡构形；而当压力大于分叉荷载时， 图 1 压杆 的平衡 路径 外界干扰引起的偏离初始平衡构形的屈曲，当外界干 扰消除后不可回复，此时的平衡构形称为不稳定的平 用 Maclaurin公式展开得 衡构形．人们普遍认为：压杆失稳后，将完全丧失承 (十yl2)。2／=+耋xs，，2+芸×1×s，14一言××s，… 载力，故人们常把某些工程事故归因于压杆失稳，如 1907年的加拿大魁北克大桥垮塌事故等 l【1． 取前二项有 早在 1774 年法 国著名数学家 Leonhard (1+ )／：1+昙×Y (1) Euler(1707,,~1783)就根据小变形假设推导出了用于 经计算，当Y分别为 0．8、0．9和 1．0时，取前 确定分叉荷载的Euler公式 J．但这种基于小变形的 一 项引起的误差均大于 100％，而取二项其精度分别 近似方法由于采用了曲率的近似表达式而无法求得中 为 O．06、O．09、O．11，所以取二项时精度得到大幅 点屈 曲位移 ，甚至得 出了 值可以为任何值的错误 度提高．将式 (1)代入微分方程得 结论． 旦 + 12×Y ：一EJ (2) 其实，根据笔者 的研究，压杆失稳后，其承载力 1 3 非但不会丧失，而且会有小幅上升．我们知道，在静定 令 z：dydz，则 ”= dz a ， 代入式 (2)中有 问题 中，必须绝对避免压力达到分叉点．而在超静定 d 结构 中，某些杆的屈服将引起荷载重分布，故并不引 起构件破坏。所以合理确定压杆荷载，对于充分利用 一 (3) 1+昙z2一 材料的储备强度具有特别重要的意义． 2 方程的建立 积分得 (+ =c一 c4 图 1为杆件受压示意图．由微积分知 曲率 与弯 其中：c为积分常数．代入边界条件：Y= 时 z=0 矩 M (z)存在下列关系： =-M(x)／EI(对于杆， 得：c=器．代回式4()得 由于压缩变形和剪切变形与 曲变形相比很小，故经 常忽略它们)·其中 =了i ·将 (1-by，2)32