4350L109Q03整数规划3.pptVIP

* 其中矩阵C称为是效率矩阵或系数矩阵。 其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n?n。 标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D. Konig关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。 2. 匈牙利解法 匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k，得到一个新的矩阵C’=（c’ij)，则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k，所以，最优解并不改变。） 对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。 作变换，其不变性是最优解 匈牙利法的步骤如下： 步1：变换系数矩阵。对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。若某行或某列已有0元素，就不必要再减了（不能出现负元素）。 步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。 确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较大时，可按下列顺序进行 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作?，然后划去?所在的列（行）的其它0元素，记作?。 给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作?，然后划去?所在行的0元素，记作?。 反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。 如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即是独立的0元素。 步3：作最少数目的直线，覆盖所有0元素（目的是确定系数矩阵的下一个变换），可按下述方法进行 1） 对没有?的行打“?”号； 2） 在已打“?”号的行中，对? 所在列打“?” 3）在已打“?”号的列中，对?所在的行打“?”号； 4）重复2）3），直到再也找不到可以打“?”号的行或列为止； 5）对没有打“?”的行划一横线，对打“?”的列划一纵线，这样就得到覆盖所有0元素的最少直线数。 步4：继续变换系数矩阵，目的是增加独立0元素的个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“?”行各元素中都减去这一元素，而在打“?”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（为了消除负元素）。得到新的系数矩阵，返回步2。 以例说明匈牙利法的应用。 例1：P128 (Cij)= 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13 7 8 11 9 2 4 9 7 min 0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2 min 4 2 0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0 =(bij) 寻最优解 ? 13 7 ? 6 ? 6 9 ? 5 3 2 ? 1 ? ? (xij)= 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 例2：求解效率矩阵为如下的指派问题的最优指派方案。 解：第一步：系数矩阵的变换（目的是得到某行或列均有0元素） 第二步：确定独立0元素 ?元素的个数m=4，而n=5，进行第三步。 第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵的下一个变换。 第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素的个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“?”行各元素中都减去这一元素，而在打“?”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解和原问题相同，为什么？） ? ? ? 由解矩阵可得指派方案和最优值为32。 例3 某大型工程有五个工程项目，决定向社会公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别获得中标承建。已知建筑公司Ai（i=1，2，3，4，5）的报价cij（百万元）见表，问该部