DSP第三章离散傅里叶变换.ppt

傅里叶变换的几种形式 时域(连续、周期 ) 频域(非周期、离散) 复习：周期函数的复指数级数 第一步 第二步 DFT应用 DFT与序列Z变换的关系 X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值 即 Re[z] jIm[z] k=0 1 3 4 5 6 7(N-1) 2 DFT与序列傅里叶变换的关系 N N p w 2 = e X e X k X jk k N j N w p w w ) ( ) ( ) ( 2 = = = X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为2π/N w p o X (e j w ) X ( k ) 2p  （a） 有限长序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=5的周期序列;  （c） 对应于 的傅里叶级数 和x(n)的傅里叶变换的幅度特性|X(ejω)|; （d） x(n)的DFT X(k) （a） 有限长序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=10的周期序列 ; （c） DFT的幅值 DFT变换的性质 1、线性性质 2、循环移位性质 3、循环卷积定理 4、复共轭序列的DFT 5、DFT的共轭对称性 1、线性 a, b为任意常数，N ≥ max[N1,N2] DFT［x1(n)］=X1(k) DFT［x2(n)］=X2(k) 若 x1(n) 和 x2(n) 是长度分别为 N1和 N2 且 则 2 圆周移位 1) 定义 一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(n) 周期 延拓 移位 取主值 序列 x(n) x(n) ~ x(n + m) ~ =x((n + m))N y(n) 圆周移位过程示意图 ( e ) x ( n ) 2 1 n ＝ 0 N －1 N －2 o 2 1 n ＝ 0 N －2 N －1 ( g ) n ＝ 0 N －1 N －2 ( f ) 2 1 ) ( )) 2 (( n R n x N N + 0 N－1 n ( d ) N n x n x )) 2 (( ) 2 ( ~ + = + 0 n ( c ) N－1 0 x ( n ) n ( a ) N－1 0 n ) ( ~ n x ( b ) N－1 2）时域圆周移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位 则 ) ( )] ( )) (( [ )] ( [ ) ( k X W n R m n x DFT n y DFT k Y mk N N N - = + = = m k N j kn N e W - = p 2 有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响。 3）频域圆周移位定理 则 若 时域的调制等效于频域的圆周移位。 4）时域圆周卷积 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0≤n≤N-1） 若 则 N 表示： 圆周卷积过程： 周期延拓 翻褶，取主值序列 圆周移位 相乘相加 周期卷积后取主值 圆周卷积的计算 m m m m m m m m m m m 5）频域圆周卷积 x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列，则 N 若 6）复共轭序列的DFT 设x*(n)为x(n)的共轭复序列，长度为N，则 DFT［x*(n)］=X*(N-k), 0≤k≤N-1 且 X(N)=X(0) 3. 用DFT进行谱分析的误差问题 1.用DFT计算线性卷积 2. 利用DFT对连续时间信号作频谱分析 1、用DFT计算线性卷积 线性卷积：实际系统的输出y(n)=x(n)*h(n) 圆周卷积：与DFT相对应，有快速算法 问题： 如何用圆周卷积代替线性卷积？ DFT DFT IDFT 设x1(n)和x2(n)都是有限长序列，长度分别为N1和N2 。 分析： （1）先看它们的线性卷积 0≤n≤N1+N2-2 y1(n)是N1+N2-1 点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1 （2）我们再来看x1(n)与x2(n)的圆周卷积 L 令 则 其周期卷积为 当 y(n)等于y(n)的周期延拓而不会产生混叠 ~ 所以　当 即 x1(n) ○x2(n)=x1(n)*x2(n) L 因此 而　圆周卷积正是周期卷积取主值序列 L 线性卷积与圆周卷积 线性卷积与圆周卷积 * * 周期卷积不等于线性卷积 公式完全等同于DFS N越大，包络线也接近DTFT的连续性结果 有限长序列不同的周期延展方法，结果不同 DFT及FFT在数字滤波、功率