上第1次课数学建模概述.ppt

第一节 数学应用认知 老学究说:数学的有用在于教给如何精确地思考和推理。 建筑师或雕塑家说:数学的有用在于导致对视觉美的理解和创造。 哲学家说:数学的有用在于使人们能够回避日常的现实生活。 数学教师说:数学的有用在于为他提供面包和黄油。 出版商说:数学的有用在于使他能卖出很多教科书。 天文学家和物理学家说:数学有用在于它是科学的语言。 土木工程师说:数学使他能高效率地建造桥梁。 数学家说:数学的有用在数学内部，一部分数学的有用在于它能应用于另一部分数学。 一 数学应用促进数学发展 几何学 ，微积分，统计学，运筹学等； 例2 统计数学的建立。 统计思想产生于以下三方面的实践： ①人口调查；②随机游戏（如赌博）；③科学方法论。 例如调查的可靠性问题、抽样方法问题、误差的问题、人口分布的问题、赌博的分点问题等各种具有不确定性的随机问题；科学方法论中科学实验数据的处理问题；观察误差的分析问题等。 由于这三方面都涉及到人们直接的功利，统计数学相应就产生了。 二 数学是一切科学的得力助手 例3 非欧几何帮助爱因斯坦建立相对论。 据说爱因斯坦用了几年时间构思出一个理论框架,最基本的思想是把引力看作空间的曲率,但是令他十分苦恼的是他无法表达清楚他的思想, 数学家格罗斯曼建议他去学一下非欧几里德几何学。爱因斯坦找到了表达他的理论的语言,建立起了现代物理学基本理论:相对论和广义相对论。 广义相对论不像当时的非欧几何那样难以触摸，它是对大范围客观世界的描述，可以用试验和观察去检验。水星的“运动”和光线在大质量物体附近的“弯曲”两个事实，证明了广义相对论是正确的。 例4 群论帮助温伯格建立统一守恒定律。 诺贝尔物理奖获得者温伯格等物理学家读到群论时,吃惊地发现这正是他们所需要用于统一能量守恒定律 、动量宁恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律……的工具(语言). 这些定律反映了我们周围世界的优美的对称性.群论也就成为了认识晶体结构的基本方法，成为研究量子论的基本工具。 三 数学应用是推动社会发展的加速器 例8 精计算使深水炸弹弱变强。 二战期间，英美运输船队在大西洋航行时经常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国的海军实力有限，一时间，德军的潜艇战搞得盟军焦头烂额。英国空军经常派出轰炸机利用深水炸弹对德军潜艇实施打击，但轰炸效果总不理想。 为此，英军请来一些数学家专门研究这一问题。结果发现，潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸为止，只下潜了7.6米，而英军飞机的深水炸弹却已下沉到21米处爆炸，从而对潜艇的毁伤效果低下。 经过科学论证，英军果断调整了深水炸弹的引信，爆炸深度由21米调整到9.1米，结果轰炸效果提高了4倍，德军还以为英军有了什么新式武器。 四 应公正地看待“数学应用” 数学在客观上具有社会的重要性,在主观上又有不可见性。 数学的应用常常是难以预料的。 例9 古希腊的素数理论在密码学中的应用 例10阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论在开普勒三定律中的应用 在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已经有关于圆锥曲线的大量研究。但是，圆锥曲线真正有价值的应用，是17世纪发现的开普勒三定律，用椭圆来描述行星运动的规律，这开创了人类研究太阳系行星运动规律的新纪元。 第二节 为什么要学？ 1、数学建模可对研究的对象提供分析、预报、决策或控制、优化等定量结果。 例：美国国家导弹防御系统。 数据处理。 确定弹道导弹的轨道， 再确定拦截导弹的轨道， 使两颗导弹的轨道曲线在空中相交，且交角越小越好。 这种拦截原理要求精确测算、控制和制导，其中大部分是数学问题，涉及到大量的数学模型。 第一节 为什么要学？2 2、训练人——促进思维能力及问题解决能力的培养 “数学最大的应用是教育”（谷超豪院士） 数学建模回复了数学研究的本来面目： 收集数据、建立模型、求取答案、解释验证。 第三节 数学建模概述 一、数学模型 二、数学建模 三、数学模型方法 四、数学建模与数学应用题 一、什么是数学模型 原型： ——实际对象。 模型： ——原型的替代物。 数学模型： ——描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。 鸡兔同笼问题 今鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？《孙子算经》 答：鸡 ，兔 。 注：假定35只全是兔子，应该有140只脚。可实际只有94只脚，多算了46只脚，为什么呢？ 因为把鸡当成兔子算了，到底多少鸡算成兔？ 术：鸡数=(头数×4-足数)÷(4-2) 数学模型： 算法（凑齐；取半）; 图示; 方程 总结：数学模型的含义 一般地，数学模型是指： 对于现实世界的一个特定对象， 为了一个特定目的， 根据特有的内在规律， 做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。 二、数学建模——建立数学模