常考问题8 平面向量的线性运算及其综合应用.docVIP

常考问题　 (建议用时：50分钟) 1(2013·陕西卷)设ab为向量则“|a·b|＝|a||b|”是a∥b”的(　　)． 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 解析　由|a||b||〈ab〉|＝|a||b| 则有〈ab〉＝±1. 即〈ab〉＝0或所以a∥b.由a∥b得向量a与 b同向或反向所以〈ab〉＝0或所以|a·b|＝|a||b|. 答案　 2．已知向量ab的夹角为120°a|＝3a＋b|＝则b| 等于(　　)． C．3 D．1 解析　向量a与b的夹角为120a|＝3a＋b|＝ 则a·b＝|a||b|·＝－b|， |a＋b|＝|a|＋2a·b＋|b| 所以13＝9－3|b|＋|b|2则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4. 答案　 3．(2013·辽宁一模)△ABC中D为BC边的中点已知＝a＝b则在下列向量中与同向的向量是(　　)． ＋－ C. D．|b|a＋|a|b 解析　∵＝(＋)＝(a＋b) ∴向量与向量是同向向量． 答案　 4．已知非零向量ab，c满足a＋b＋c＝0向量a与b的夹角为60|a|＝|b|＝1则向量a与c的夹角为(　　)． 解析　因为a＋b＋c＝0所以c＝－(a＋b)．所以|c|＝(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝2＋2＝3.所以|c|＝ 又c·a＝－(a＋b)·a＝－a－a·b＝－1－＝ －设向量c与a的夹角为θ则＝＝＝－又0所以θ＝150 答案　 5．(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中是坐标原点两定点A满足|＝|＝＝2则点集＝＋，|λ|＋|μ|≤1R}所表示的区域的面积是(　　)． B．2 C．4 D．4 解析　由|＝|＝＝2知＝又0≤∠AOB≤则∠AOB＝又A是两定点可设A()，B(0，2)，P(x，y)，由＝λ＋μ可得? 因为|λ|＋|μ|≤1所以＋当 由可行域可得S＝＝所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S＝4故选 答案　 6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2为CD的中点则＝________ 解析　由题意知：＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝2－－＝4－0－2＝2. 答案　2 (2013·江西卷)设ee2为单位向量e1，e2的夹角为若a＝e＋3eb＝2e则向量a在b方向上________． 解析　a在b方向上的射影为|a|〈ab〉＝ ∵a·b＝(e＋3e)·2e1＝2e＋6ee2＝5. b|＝|2e＝2. ＝ 答案　 在直角梯形ABCD中＝90°＝2＝1是腰DC上的动点则|＋3的最小值为______ 解析　建立如图所示的直角坐标系设DC＝m(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知(2，0)，B(1，m)，＝(2－t)＝(1－t)＋3＝(5－4t)＋3＝当且仅当t＝时取等号即＋3的最小值是5 答案　5 9．如图在平面直角坐标系xOy中点A 在x轴正半轴上直线AB的倾斜角为|OB|＝2设∠AOB＝θ. (1)用θ表示点B的坐标及|OA|； (2)若＝－求的值． 解　(1)由题意可得点B的坐标为(2)．在△ABO中＝2＝＝－－θ＝－θ.由正弦定理得＝ 即|OA|＝2. (2)由(1)·＝||cos θ ＝4cos θ. 因为＝－， 所以sin θ＝＝－ 又＝cos θ－sin θ＝－＝ 故＝4×＝－ 10．已知△ABC的内角A所对的边分别是a设向量m＝(a)，n＝()，p＝(b－2－2)． (1)若m∥n求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p边长c＝2＝求△ABC的面积． (1)证明　因为m∥n所以a＝b 即a·＝b·(其中R是△ABC外接圆的半径)所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形． (2)解　由题意可知m·p＝0即a(b－2)＋b(a－2)＝0所以a＋b＝ab由余弦定理知4＝c＝a＋b－＝(a＋b)－3ab即(ab)－3ab－4＝0所以ab＝4或ab＝－1(舍去)． 所以S＝＝＝ 11．如图所示分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点点P在单位圆上＝θ(0θ)，C点坐标为(－2)，平行四OAQP的面积为S.(1)求＋S的最大值； (2)若CB∥OP求的值． 解　(1)由已知得A(1)，B(0，1)，P(cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP是平行四边形 所以＝＋＝(1)＋() ＝(1＋)． 所以＝1＋ 又平行四边形OAQP的面积为 ＝||sin θ＝ 所以＋S＝1＋＋＝＋1. 又0θ 所以当θ＝时·＋S的最大值为＋1. (2)由题意知＝(2)，＝()， 因为CB∥OP所以＝2 又0θ＋＝1 解得＝＝ 所以＝2＝＝－＝所以＝－＝－＝