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第 23 卷第 5 期 大 学 数 学 Vol . 23 , №. 5
2007 年 10 月 COLL E GE MA T H EMA TICS Oct . 2007
关于矩阵多项式的逆矩阵求法的一个注记
王新哲
(保定师范专科学校 数学与计算机系 ,河北 保定 07 1000)
[摘 要] 给出了矩阵多项式逆矩阵的一些充要条件和一种求法.
[ 关键词] 矩阵多项式 ;逆矩阵 ;多项式的互素
[ 中图分类号] O 151. 2 1 [文献标识码] C [文章编号] (2007) 050 17003
( )
在文献[ 1] 中, 定理 1 给出的条件并不是矩阵多项式 g A 可逆的充要条件, 只是充分条件. 本文修
正了定理 1 , 并给出了矩阵多项式可逆的其他充要条件和一种求法.
下面通过例题说明定理 1[ 1] 给出的条件不是充要条件, 而是充分条件.
( ) ( ) ( )
例 1 设 A 为 n 阶对角形矩阵, 其主对角线上的元素均为 1 或 2 , 多项式 f x = x x - 1 x - 2 ,
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )
g x = x x - 3 . 易见 f A = O , f x , g x = x ≠1 , 但 g A 可逆.
出现这种状况的原因是定理 1[ 1] 的证明忽略了多项式 f ( x) 的根不一定是矩阵 A 的特征根. 当在
定理 1[ 1] 中补上一个条件就成立 :多项式 f ( x) 的根都是矩阵 A 的特征根.
定理 1 设 A 为一个 n 阶矩阵, 为复数域, f ( x) , g ( x) ∈ [ x ] , f ( A) = O , 且 f ( x) 的根都是 A 的特
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
征根, 则 g A 可逆的充要条件是 f x , g x = 1. 此时有 u x , v x ∈ [ x ] , 使得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - 1 ( )
u x f x + v x g x = 1 , 且 g A = v A .
此定理的证明同定理 1[ 1] 的证明.
( ) ( ) ( )
推论 1
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