对正弦定理和余弦定理的研讨.pdfVIP

2011年第50卷第6期 数学通报 21 对正弦定理和余弦定理的研讨 黄汉禹 (上海市中职数学教材编写组(上教版)上海翔申学校201102) 正弦定理和余弦定理是解三角形的理论根 个定理用式子表示分别是： 据．解三角形有着广泛的实际实用，对培养学生分 正弦定理：丽aSln^一五S1毛一_SIn毛．nD L／ 析问题和解决问题的能力很有裨益，因而每年高 余弦定理：a2一b2+c2—2bccosA， 考总有这方面的试题．然而笔者在教学实践中感 b2=f2+口2—2cacosB， 到，执教者往往对这两个定理的认识和理解比较 肤浅，有必要对之进行研讨，以提升执教者的教学 ，一口2+b2—2abcosC． C+CCOS 射影定理：a=bcos B， 业务水准． A+acos I解三角形除了应用正弦定理和余弦定理外。还 b=ccos C， c—acosB+bcosA． 有其他定理吗?如果有。还有几个 解三角形除了应用这三个定理外，还有没有 三角形的三条边和三个内角是三角形的基本 元素，所谓解三角形就是由三角形足够个数的已 其他的定理呢?答案是否定的．这可以从定理中 元素构成的成分进行分析． 知元素来求未知元素(通常还包括求三角形的面 我们知道，从6个元素中取4个元素的组合 积)，或者判定所求的基本元素不存在． 正弦定理和余弦定理是刻划三角形6个基本 数共有C：一15；也就是说，从三角形的三条边和 三个角中，任意取出四个元素所能构成的关系式 元素中4个元素之间的基本关系(注意：本文所指 应当有15个，而这15个关系式可以分为三类：取 的基本关系是指基本等量关系)．解三角形除了 三条边和一个角的有C；Cj一3种；取两条边和两 应用这两个定理外(现行中学教材一般只讲这两 个)，还有一个定理，即射影定理，它是刻划三角形 个角的有C；C；一9种；取一条边和三个角的有 6个基本元素中5个元素之间的基本关系，这三 CjC；一3种．这三类关系式可列表如下(表1)： 表1 三角形中从6个元素中取4个元素的所有关系 三边、一角有cic5=3种 两边、两角有CiCi=9种 一边、三角有CjC{=3种 不存在这样的关系式． 这种情形就是正弦定理： 因为含有一条边和三个角只有 ㈣志一志m，志一壶朋，击=志． 如下三种情形：