函数极限的定义证明.docVIP

习题1(3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); (2); (3); (4). 证明 (1)分析 |(3x(1)(8|(|3x(9|(3|x(3|, 要使|(3x(1)(8|(( , 只须. 证明 因为(( (0, (, 当0(|x(3|((时, 有|(3x(1)(8|(( , 所以. (2)分析 |(5x(2)(12|(|5x(10|(5|x(2|, 要使|(5x(2)(12|(( , 只须. 证明 因为(( (0, (, 当0(|x(2|((时, 有|(5x(2)(12|(( , 所以. (3)分析 , 要使, 只须. 证明 因为(( (0, (, 当0(|x(((2)|((时, 有, 所以. (4)分析 , 要使, 只须. 证明 因为(( (0, (, 当时, 有, 所以. 2. : (1); (2). 证明 (1)分析 , 要使, 只须, 即. 证明 因为(( (0, (, 当|x|(X时, 有, 所以. (2)分析 , 要使, 只须, 即. 证明 因为(((0, (, 当x(X时, 有, 所以. 3. 当x(2时, y(x2(4. 问(等于多少, 使当|x(2|(时, |y(4|0. 001？ 解 由于x(2, |x(2|(0, 不妨设|x(2|(1, 即1(x(3. 要使|x2(4|(|x(2||x(2|(5|x(2|(0. 001, 只要, 取((0. 0002, 则当0(|x(2|((时, 就有|x2(4|(0. 001. 4. 当x((时, , 问X等于多少, 使当|x|X时, |y(1|0.01? 解 要使, 只, . 5. 证明函数f(x)(|x| 当x(0时极限为零. 6. 求 当x(0时的左﹑右极限, 并说明它们在x(0时的极限是否存在. 证明 因为 , , , 所以极限存在. 因为 , , , 所以极限不存在. 7. 证明: 若x(((及x(((时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则. 证明 因为, , 所以((0, (X1(0, 使当x((X1时, 有|f(x)(A|(( ; (X2(0, 使当x(X2时, 有|f(x)(A|(( . 取X(max{X1, X2}, |x|(X时, 有|f(x)(A|(( , 即. 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x(x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f(x)(A(x(x0), 则((0, (((0, 使当0|x(x|( 时, 有 |f(x)(A|( . 因此当x0((xx0和x0xx0(( 时都有 |f(x)(A|( . 这说明f(x)当x(x0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f(x(0)(f(x0(0)(A, 则((0, ((10, 使当x((1xx0时, 有| f(x)(A( ; ((20, 使当xxx0+(2时, 有| f(x)(A|( . 取((min{(1, (2}, 则当0|x(x0|( 时, 有x0((1xx0及x0xx0+(2 , 从而有 | f(x)(A|( , 即f(x)(A(x(x0). 9. 试给出x((时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x((时函数极限的局部有界性的定理( 如果f(x)当x((时的极限存在( 则存在X(0及M(0( 使当|x|(X时( |f(x)|(M( 证明 设f(x)(A(x(()( 则对于( (1( (X(0( 当|x|(X时( 有|f(x)(A|(( (1( 所以 |f(x)|(|f(x)(A(A|(|f(x)(A|(|A|(1(|A|( 这就是说存在X(0及M(0( 使当|x|(X时( |f(x)|(M( 其中M(1(|A|(