5-离散时间信号处理基础.ppt

5.3 离散系统的系统函数 5.3.1 系统函数的定义 1、系统函数的引出 卷积 卷积运算量比较大，不过由于卷积运算在z域变为相乘关系，则有 把上式中的H(z)定义为系统函数，它是单位脉冲响应h(n)的z变换，或是z域零状态响应与激励的比值，即 当系统的差分方程给出时，设为 在零状态条件下，对上式两边取Z变换，系统函数为 2、线性时不变离散系统的三种描述方式 可以用以下三种方式描述线性时不变离散系统：差分方程，脉冲响应，系统函数，它们之间可以相互转换。 例5-15 已知 ，求系统函数和差分方程。 解 对h(n)取Z变换，传递函数为 给分子和分母同乘以 ，上式又可写成 交叉相乘得 则差分方程为 三、系统的z域框图 在实际应用中，往往根据系统的技术指标要求，首先确定出系统函数H(z)，再选用一种框图实现H(z)，最后，根据框图编写数据处理的算法和程序。z域框图与时域框图只在延迟环节的表示上有区别，如图5-6所示。为了便于比较，把图5-1重画在图5-6中。 例5-16 已知系统函数 试给出实现H(z)的框图及数据处理算法。 解 根据给定的系统函数，Y(z)可表示为 与该式对应的一种系统的z域框图如图5-7所示。 设两个延迟单元的输出分别为v(n)和w(n)，则有 在编写数据处理程序时，对每一给定的输入x(n)，按以下算法重复计算： 5.3.2 系统的稳定性和因果性 1、系统稳定性的时域判别法 如果对任一有界输入x(n)只能产生有界输出y(n)，则称系统是稳定的。 证明：根据卷积公式 当 时（其中M为实常数），若有 则系统稳定。 因此，系统稳定的充分条件（也可证明是必要条件）为 即离散时间系统稳定的充分必要条件是脉冲响应h(n)绝对可和。 对因果系统，上式求和从n=0开始，即 2、系统稳定性的z域判别法 根据Z变换的定义 如果系统是稳定的，上式为有限值，则H(z)在 即在单位圆上即处必收敛。 因此，离散线性时不变系统是稳定系统的充要条件是：系统函数的收敛域必须包含单位圆。对单边Z变换，H(z)的所有极点在收敛域的内圆以内，因而因果稳定系统时H(z)的所有极点必须位于单位圆内，如图5-6所示。 3、系统函数的零极点与时域响应的关系 如果从系统函数的极点与时域响应之间的对应关系考虑，对单极点p，其z域和时域响应分量分别为 如果极点p是二阶的，则有 当|p|1时，式（5-35）和式（5-36）响应分量的总趋势随n增大而衰减， 满足绝对可和条件。 当|p|1时，响应分量的总趋势随n增大而增大， ，不满足绝对可和条件。 当|p|=1时，也不满足绝对可和条件。 例5-16 系统的差分方程为 （2）分析此因果系统H(z)的稳定性； （1）求系统函数H(z)； （3）求单位脉冲响应h(n)。 解（1）对差分方程两边取Z变换，得 （2）H(z)的两个极点都在单位圆内，因此系统是稳定的。 （3）将H(z)/z展成部分分式，得 取逆变换，得单位脉冲响应 4、系统函数的收敛域与系统的因果性 对于线性时不变系统，如果它是因果系统，则要求它的单位脉冲响应满足条件 系统函数的所有极点都必须在单位圆内，这样的系统才能同时满足稳定性与因果性的要求。 这实际上是要求系统的单位脉冲响应h(n)为因果信号。由于系统函数H(z)是h(n)的Z变换，所以，根据Z变换的性质，h(n)是否为因果信号，与H(z)收敛域的情况有直接的关系，即离散线性时不变系统是因果系统的充要条件是：系统函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点。 5.3.3 系统的频率特性 1、离散系统的频率响应 离散时间系统在指数序列 输入下的响应。 设系统是因果的，单位脉冲响应为h(n)，根据卷积公式，响应 上式中括号中的项为H(z)在z=z0处的值，设H(z0)存在，于是 其中 * 信号分析与处理 * ■ 第5章 离散时间信号处理基础 第5章 离散时间信号处理基础 5.1 线性时不变离散系统时域模型——差分方程 5.1.1 线性时不变离散系统的数学模型和基本运算单元 5.1.2 差分方程的建立 5.1.3 差分方程的时域经典解法 5.1.4 用z变换求解差分方程 5.2 卷积和 5.2.1 零输入响应和零状态响应 5.2.2 离散系统的单位脉冲响应 5.2.3 卷积和 5.2.4 用卷积和计算系统的零状态响应 5.3 离散系统的系统函数 5.3.1 系统函数的定义 5.3.2 系统的稳定性和因果性 5.3.3 系统的频率特性 5.1 线性时不变离散系统时域模型——差分方程 连续时间信号处理是用连续时间系统来完成的，而离散信号的处