信号系统第四章(第8讲).docVIP

连续时间系统的频域分析 §4-1 概述 系统的频域分析法，是将通过傅里叶级数（或变换），将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅里叶反变换，求得响应。 频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。 频域分析法只能求解系统的零状态响应。 §4-2 信号通过系统的频域分析方法 一、系统对周期性信号的零状态响应 基本思路： 周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应，就可以得到零状态全响应。 零状态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的过去就已经加到系统上，此时系统的响应已经进入了一个稳定的状态，则此零状态响应为稳态响应，与电路中的相量法类似。 系统对周期信号零状态响应求解的一般步骤。 将周期信号分解为傅里叶级数； 求系统对各个频率信号（正弦信号）作用的一般表达式——网络函数，其方法与电路分析中稳态响应的求解法类似； 求系统对各个频率点上的信号的零状态响应（稳态响应）； 将其响应叠加，得到零状态全响应（稳态全响应）。 某些由周期性信号组成的非周期信号也可以用这种分析方法。例如信号： 虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。 通过微分方程求系统对周期信号的零状态响应： 对于用微分方程描述的一般系统，有： 我们可以先假设系统对复指数信号的响应仍然是同频率的复指数信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复指数信号，其响应也是同样频率的复指数信号。其中、分别为频率为的复指数激励和响应信号的复振幅。将其代入微分方程，可以得到： 或： 所以， 可见，“系统对复指数信号的响应仍然是同频率的复指数信号”这样的假设完全成立，可以找到满足系统对的响应。如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有可能是系统对信号的响应。 令系统的传输函数为： 它实际上可以将时域中的转移算子中的算子p用替代后得到。这里的H完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。 这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为： 反映了复指数激励下激励信号的复振幅与响应信号复振幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于和幅度的积，相位和两者相位的和。 总结： 根据微分方程求解系统对周期信号零状态响应的方法： 将周期信号分解为复数傅里叶级数的和； 求出系统转移算子，将其中的算子p用替代后得到。 求系统对各个复频率点上的信号的响应： 将各个频率点上的响应叠加，得到零状态全响应。 这里的求解方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复指数信号的响应。 实数正弦信号可以表示为两个复正弦信号的和：。系统对这两个基本复指数信号的传输函数分别为和。如果微分方程中的系数都是实数，则可以得到。 假设： 则系统对正弦信号的响应为： 所以，同时也反映了系统对频率为的实正弦信号的幅度和相位的影响。这就是电路正弦稳态分析中的结论。所以，这里也可以改为： 将周期信号分解为实数傅里叶级数的和； 求出系统转移算子，将其中的算子p用替代后得到。 求系统对各个频率点上的信号的响应： 将各个频率点上的响应叠加，得到零状态全响应。 系统的频率特性 在特定点上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。 由可以引出系统的频域特性： 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各个频率的复指数信号的影响：包括对复指数信号幅度和相位的影响。 2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性和相频特性。其中： 幅频特性曲线作出了与频率之间的关系，描述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响， 相频特性曲线作出了与频率之间的关系，描绘了系统对各个频率的（复）正弦信号的相位的影响。 系统输出信号的频谱可以通过将激励信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出： 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线； 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。 由输出信号的频谱不难求得输出信号。 二、系统对非周期信号的零状态响应 非周期信号通过线性系统的零状态响应的求解方法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分解为许多个周期性信号