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上 页 下 页 结 束 返 回 第3章 刚体力学 §3.4 刚体的平面平行运动 刚体的平面运动——刚体内所有的点都平行于某一平面而运动. 如车轮滚动等. 一、刚体的平面运动特点： (1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在 一个平面上. (3)刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状 况都相同. (2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直. (4)可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面 图形来代表刚体. 　　刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度． 二、运动学： 平面运动分解为平动和转动 例如　车轮的运动． 　 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成． 车轮的平面运动 随A的平动 绕A的转动 刚体平面运动 = A点平动 + 绕A点轴转动 建立坐标系Oxyz，使平面图形在Oxyz面内, z轴与纸面垂直向外. 在平面上任取一点A，称为基点，以基点A为原点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系Ax′y′z′. A A B B′ B 1 2 2′ A ? B 注： 平面运动随基点平动的运动规律与 基点的选择有关 绕基点转动的规律与基点选取无关． 基点的选取是任意的。 通常选取运动情况已知的点作为基点 1, 速度 平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量 在O-xyz中的分量： 在A-x’y’z’中的分量： 2, 加速度 A的加速度 相对切向加速度 相对向心加速度 三、转动瞬心（速度瞬心）： 1. 问题的提出 　 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ 平面图形S，某瞬时其上一点A速度　 , 图形角速度?，沿 方向取半直线AL, 然后顺? 的转向转90o至AL’的位置,在AL’上取长度 则： 当?不为0时，转动瞬心必存在！ 角速度不为零时，刚体上恒有一点速度为零，则该点为转动瞬心，以C表示. 选C为基点，则刚体平面运动化为绕过C点且与固定平面垂直的轴的定轴转动 对A-x’y’z’系 对O-xyz系 2，定义 ３．几种确定速度瞬心位置的方法 　①已知图形上一点的速度　 和图形角速度?， 可以确定速度瞬心的位置．（P点） 　　　　　　　　　且Ｐ在　 顺?转向绕A点 转90o的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心． 　　　 ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且 (b) (a) ③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心. 2，空间极迹与本体极迹 当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，c在固定平面上（O-xy）的轨迹叫做空间极迹 在薄片上(A-x’y’)的轨迹叫做本体极迹 一般情况下，本体极迹B在空间极迹S上无滑动的滚动。---潘索定理 四、动力学： C ? x’ 质心运动定理： 绕质心的定轴转动： 由于受到约束做平面平行运动，约束力未知，一般未知数的个数大于方程的个数，需要加约束方程才能求解。 1. 运动微分方程 以运动学观点，基点可任意选取，以动力学选质心为 基点较宜。取过质心的薄片代表刚体（O-xy为静系， C-x’y’为刚体系,C-x’’y’’为与Ox始终平行的坐标轴） 2. 动能 动能＝质心平动动能＋绕质心的转动动能 能量守恒可以代替上方程其中之一 这种方法的主要优点：由于不做功的力在方程中不不出现，可避免考虑那些不做功的约束力，且可少积一次分。 缺点：无法由它求出不做功的力 动能定理： 保守力时，机械能守恒 [例1]：有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上，另一端 缠着一个半径为r，重为p的滑轮。求滑轮中心即圆心下降 的加速度。（设滑轮做纯滚动） A C 解：取垂直向下的方向为x轴正向。计算力矩时取 顺时针方向为正，外力有P和T 两个方程三个未知量，方程数目不够，还得靠约束 关系再找一个方程。∵滑轮是作纯滚动的。 解这三个方程就能得到圆心下降的加速度 微分方程为： 上 页 下 页 结 束 返 回 第3章 刚体力学