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信号与系统 Signals and Systems 系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性 线性时不变系统的描述及特点 线性时不变系统的描述及特点 [例] 已知某线性时不变系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。 连续时间LTI系统的响应 连续时间LTI系统的响应 一、经典时域分析方法 一、经典时域分析方法 一、经典时域分析方法 经典法不足之处 二、卷积法 [例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 二、卷积法 卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路 1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。 卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导 [例] 已知某LTI系统的动态方程式为： y(t) + 3y(t) = 2f(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), f(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yf (t)。 * * * * * * * 国家精品课程主教材、北京市精品教材 《信号与系统》(第2版) 陈后金，胡健，薛健 清华大学出版社，2005年 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述 ai 、 bj为常数。 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述 ai 、 bj为常数。 线性时不变(LTI)系统的描述 线性时不变系统的特点 由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有: 1）微分特性或差分特性： 若 T{ f(t)}=y(t) 则 若 T{f[k]}= y[k] 则 T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1] 2）积分特性或求和特性： 若 T{ f(t)}=y(t) 则 若 T{f[k]}= y[k] 则 解： 从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系 根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系 经典时域分析方法 卷积法 零输入响应求解 零状态响应求解 1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 求解齐次微分方程得到零输入响应 利用卷积积分可求出零状态响应 微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定 齐次解yh(t)的形式 (1) 特征根是不等实根 s1, s2, ?, sn (2) 特征根是等实根 s1=s2=?=sn =s (3) 特征根是成对共轭复根 常用激励信号对应的特解形式 [例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。 特征根为 齐次解yh(t) 解: (1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t) 特征方程为 t0 [例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。 解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t) = Ce-t 将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。 t0 [例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号f (t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。 解: (3) 求方程的全解 解得 A=5/2，B= -11/6 1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应 y(t) = ？ 2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？ 若微分方程右边激励