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信号与系统 Signals and Systems 系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲相应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性 线性时不变系统的描述及特点 线性时不变系统的描述及特点 离散时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统的响应 一、迭代法 二、经典时域分析方法 二、经典时域分析方法 二、经典时域分析方法 经典法不足之处 三、卷积法 [例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=f[k] 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k] 。 [例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k-1]+4y[k-2]=f[k] 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k] 。 [例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]-0.5y[k-1]+y[k-2] -0.5y[k-3] =f[k] 系统的初始状态为y[-1] = 2， y[-2]= -1， y[-3]= 8，求系统的零输入响应yx[k] 。 三、卷积法 卷积法求解系统零状态响应yf [k]推导 卷积法求解系统零状态响应yf [k]的思路 1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 —— 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列f [k]激励下系统的零状态响应yf [k] 。 [例] 若描述某离散系统的差分方程为: 离散时间系统的单位脉冲响应 一、单位脉冲响应h[k]定义 二、 h[k]的求解 三、单位阶跃响应 单位脉冲序列? [k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号h[k]表示。 对 N 阶LTI离散时间系统， h[k]满足方程 求解方法: 2) 等效初始条件法 将d [k-j]对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。 等效初始条件由差分方程和h[-1] = h[-2] = ? = h[-n] = 0 递推求出。 1) 迭代法 * * * * * * * 国家精品课程主教材、北京市精品教材 《信号与系统》(第2版) 陈后金，胡健，薛健 清华大学出版社，2005年 连续时间系统用N阶常系数微分方程描述 ai 、 bj为常数。 离散时间系统用N阶常系数差分方程描述 ai 、 bj为常数。 线性时不变系统的描述 线性时不变系统的特点 LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有: 1）微分特性与差分特性： 若 T{ f(t)}=y(t) 则 若 T{f[k]}= y[k] 则 T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1] 2）积分特性与求和特性： 若 T{ f(t)}=y(t) 则 若 T{f[k]}= y[k] 则 迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解 离散时间LTI系统 的数学模型为 2. 经典时域分析方法: 求解差分方程 3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应 系统响应求解方法: 1. 迭代法: 已知 n 个初始状态{ y[-1], y[-2], y[-2],????, y[-n] }和输入，由差分方程迭代出系统的输出。 [例] 一阶线性常系数差分方程 y[k]-0.5y[k-1]=u[k], y[-1] = 1，用迭代法求解差分方程。 解： 将差分方程写成 代入初始状态，可求得 依此类推 缺点：很难得到闭合形式的解。 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成: 齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定 (1) 特征根是不等实根 r1, r2, ?, rn (2) 特征根是等实根 r1=r2=?=rn (3) 特征根是成对共轭复根 齐次解的形式 常用激励信号对应的特解形式 ak (a不是特征根) ak (a是特征根) [例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = f [k] 初始条