紧流形上椭圆微分算子预解式的一致L^p-L^q估计.pdfVIP

王华等：紧流形上椭圆微分算子预解式的一致 一 估计 特别地，名可以取到一△的绝对连续谱点．最近 Guillarmou和 Hassell3【】进一步将 Kenig等人 [2]的工 作推广到 non—trapping非紧渐进锥流形上． 对于一般的无边紧流形，Ferreira等人 4【]利用 Hadamard基本解构造和振荡积分估计证 明了下面 一 致预解式估计，这推广 了Shen[5】在环面 上相应的工作． 定理 1．1 设M 是一个维数为 佗2的紧的无边光滑 Riemann流形，， ≥1，那么，存在一致 的常数 C0使得对任意的 = + 有下面的一致预解估计成立： 川L (M)≤CIl(Ag+z2)fll (1．4) L (M ) 如果记 ：z。，那么 应在一个小圆盘和开 口向右的抛物型区域的外部，记 (所在的区域为 贸 (见图 1)． 我们注意到，区域 并不包含 一△。的点谱，因为如果 (为 △。的点谱时，则 (1．4)显然不成立． Guillarmou和Hassell[3]提出在保持一致性估计 (1．4)成立的前提下区域 在无穷远处到底能与 一△。 的点谱有多靠近的问题．随后，Bourgain等人[。]对这个 问题进行了深入 的研究．一方面 在标准球面 或者更一般的 Zoll流形 (具有固定周期的测地线流形)上，他l／：lSU用 一△。的点谱的分布结构特征证 明了当 为这两种流形时一致估计区域 是最优的．另一方面，他们利用半波算子 cos、 证明了区域 的扩大与算子 、 在小区间上的谱投影估计具有等价性，从而得到当 为环面 和非正曲率流形时区域 可以作相应的改进．随后，Shao和 Yaof7]将上述估计 f1．4)中的特殊的 ， q)=(2n，2n)推广到一段Sobolev线段上，即 1 1 2 p≤ ， g≥ p q 佗 佗 十 最近，Krupchyk和 Uhlmann8【】应用文献 6【】的方法将关于Laplace．Beltrami算子 △。的一致预解估 计 (1．4)推广到一般椭圆自伴微分算子．为了简述他们的结果，我们先介绍一些记号． 设 P(x，D)是定义在 Sobolev空间 Hm(M)上 m 阶 (m 为偶数)带有光滑系数的非负定椭圆 自伴算子．令 Q =P ／m，那么算子 Q 为流形 M 上一阶非负椭圆拟微分算子 9[，定理3．3·．不妨设 0≤ 1≤ 2≤… ≤A ≤… 为 Q的特征值 (计算特征值的重数)，e1，e2… ．，e… ．∈L。(M)为相应 的特征向量并满足Qe= e．对每个J∈N，我们定义投影算子 f=(。，f)e，其中．厂∈L。(M)． Js 厂。 ， ～ 图 1 一致估计区域的边界曲线 572 中国科学：数学 第 44卷 第 5期 进一步，我们定义波群 eQ和 COStQ如下： 。。 eQ，：= eit；~ f， f∈L(M) c。stQf：=∑c。stAjE~f，，∈L2(M) J=1 为了研究算子P的预解式 (P～)一关于的一致 一Lq估计，我们需要一些条件．若设p(，f) ∈C。。( (M))为算子P的主象征，则我们作如下假设： (H1)对 V ∈M，等值余法超 曲面 E ={∈ (M)：p(z，∈)=1) 为紧严格凸超 曲面，