信息论与编码 曹雪虹 ppt 第6章.ppt

构成(7,3)循环码： 选g(x) =(x+1) (x3+x+1) = (x4+x3+x2+1)，则C(x)=m(x)g(x)= (m2x2+m1x+m0) (x4+x3+x2+1) 当输入信息m=(011)时，m(x)=(x+1)，C(x)=( x+ 1)(x4＋x3＋x2＋1) = x5+ x2+ x1+ 1， 对应码矢C = (0100111)。 信息矢量m(m2 m1 m0) 码矢C(c6c5c4c3c2c1c0) 000 001 010 011 100 101 110 111 0000000 0011101 0111010 0100111 1110100 1101001 1001110 1010011 例：构造（7，4）循环码 x7+1＝(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1) g(x)= x3+x2+1或g(x)= x3+x+1 C(x)=m(x)g(x) g(x)= x3+x+1 求G 系统化 g(x)= x3+x+1 C(x)=m(x)g(x) m3—0 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 c6-------0 0000000 0001011 0010110 0011101 0101100 0100111 0111010 0110001 m3—0 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 c6-------0 1011000 1010011 1001110 1000101 1110100 1111111 1100010 1101001 =[mk-1 mk-2…m0] =[mk-1 mk-2…m0] 其中，g(x)=gn-k xn-k+…+ g1 x + g0 生成多项式与生成矩阵 将矩阵中的多项式改写成对应的n重矢量形式，得矢量的矩阵表达式： C=(cn-1,…c1, c0)=[mk-1,…m1, m0] = mG 这里，我们定义(k?n)矩阵G为循环码的生成矩阵 生成矩阵G的每一行是n重空间的一个基底，也是k维n重码空间的一个基底。在一般线性分组码的生成矩阵中，这些基底除线性无关外没有什么特殊关系。然而我们从式(4-10)看到，循环码生成矩阵的k个基底，是一个基底(gn-k … g1 g0 0 … 0)的循环移位得出的。因此只要知道一个基底，其它(k-1)个基底可通过循环移位得出 循环码的(n-k)n阶的校验矩阵可写为： H= (4-13) 循环码生成矩阵G与校验矩阵的乘积一定 是零阵。 GHT＝0 (4-14) 例 以 x3+ x+1为生成多项式生成一个（7, 4）循环码,求此码的生成矩阵和校验矩阵。如果要求生成的（7, 4）循环码是系统的，生成矩阵该作如何改变？ 解：查因式分解表可知 x7+1=(x+1) (x3+ x2+1) (x3+ x+1) 本题n-k = 7- 4 = 3, 因此生成多项式g(x)应是3次的。(x7+1) 有两个3次因式，取其中任意一个都能生成（7, 4）循环码。现取g(x)=x3+ x+1，则h(x)= (x+1) (x3+ x2+1)= x4+ x2+ x+1 。 由式（4-10），（4-13）可得 1011000 ① 1110100 G = 0101100 ② H= 0111010 0010110 ③ 0011101 0001011 ④ 对矩阵G的行进行运算，将第①+③+④行作为第1行，第②+④行相加后作为第2行，得： 1000101 ①+③+④ 1110100 G= 0100111 ②+④ H= 0111010 0010110 1101001 0001011 这就是系统循环码的生成矩阵和校验矩阵 (7,4)循环码 1000101 G= 0100111 0010110 0001011 系统循环码 码字