信息论与编码原理_第8章_线性分组码.ppt

第8章 线性分组码 8.1 一般概念 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 8.3 线性分组码的生成矩阵 8.4 线性分组码的编码 8.5 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 8.6 线性分组码的译码 8.7 线性分组码的性能 8.8 汉明码 8.9 由已知码构造新码的方法 8.10 GSM 的信道编码总体方案 8.11 线性分组码的码限 8.1 一般概念 (1) 线性分组码的编码：编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位组成; 编码器按照预定的线性规则（可由线性方程组规定），把信息码组变换成 n 重（nk）码字，其中 (n－k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 (2) 线性分组码的码字数：信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，有 2k 个码字与它们一一对应。 8.1 一般概念 (3) 术语 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的码字 (nk)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示： C=(cn－1,cn－1,…,c1,c0 ) (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明了信道的利用效率，R 是衡量码性能的一个重要参数。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (1) 一致监督方程 构成码字的方法：编码是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模 2 和。 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为： (c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0) c6,c5,c4为信息元，c3,c2,c1,c0为监督元，每个码元取“0”或“1” 监督元按下面方程组计算： 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (1) 一致监督方程 一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程。 为什么叫线性分组码？由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (2) 举例 信息码组 (101)，即c6=1, c5=0, c4=1 代入 (7.2.1) 得： c3=0, c2=0, c1=1, c0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它 7 个码字如表8.2.1。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 为了运算方便，将式(7.2.1)监督方程写成矩阵形式，得： 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示： 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定： 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (3) 一致监督矩阵 令上式的系数矩阵为 H，码字行阵列为 C ： 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (4) 一致监督矩阵特性 对 H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，得到下面矩阵，行变换所得方程组与原方程组同解。 监督矩阵 H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵 H。 8.2 一致监督方程和一致监督矩阵 (4) 一致监督矩阵特性 H 标准形式的特性 H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应的码元的模 2 和为 0。 H 的标准形式表明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如 (7,3) 码的 H 阵的第一行为 (1011000)，说明第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模 2 和，依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，由 H 所确定的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或 H 阵的 r 行）必须是线性独立的，这要求 H 阵的秩为 r。 若把 H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就能方便地确定 H 阵本身的秩。 8.3 线性分组码的生成矩阵 8.3 线性分组码的生成矩阵 (1) 线性码的封闭性 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 定理7.3.1：设二元线性分组码 CI (CI