数字信号处理A §2-5 序列的Z变换.ppt

3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0≤|z||z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。 (4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为： 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 [例2-3]求序列 变换及收敛域。 §2-3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。 [例2-4] 已知 解: 1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此 2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点: 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 [例2-6] 试用长除法求  的z反变换。 解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) 5. 共轭序列 10.序列的卷积和(时域卷积定理) 11.序列相乘(Z域卷积定理) 12.帕塞瓦定理(parseval) 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略） 三.用Z变换求差分方程 2、求零输入解 3、求零状态解 3、求总输出解 2.6.用Z变换分析信号与系统的频率特性 2. 分析系统的因果稳定性 五.频率响应的分析 2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量ω(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。 零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 [例2-14] 设一阶系统的差分方程为: [解]: 对差分方程两边取Z变换: 1、因果性 2、稳定性 3、因果稳定性 1.频响的零极点表达式 模： 相角： ω 0 。 。 ，a为实数,求系统的频率响应。 4-Z) 4Z+Z + —Z + —Z + —Z + 2 4 1 3 1 16 4 5 1 64 ... 16 Z 16 Z - 4 Z 2 4 Z 4 Z - Z Z Z - — Z — Z — Z - — Z — Z 2 2 3 3 3 1 4 1 4 1 4 4 4 4 1 16 5 5 1 16 . .. Z- —) Z 1 4 1+ — Z + — Z + — Z 1 4 -1 1 16 -2 1 64 -3 ... Z- — 1 4 — 1 4 — 1 4 - — Z 1 16 -1 — Z 1 16 -1 — Z 1 16 -1 - — Z 1 64 -2 — Z 1 64 -2 — Z 1 64 -2 - —— Z 1 256 -3 —— Z 1 256 -3 ... §2-4 Z变换的基本性质和定理 如果 则有： *即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。 1.线性 [例2-7]已知 ,求其z变换。 解： 2. 序列的移位 如果