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4.1 短时傅立叶变换--概述 4.2.1 短时傅立叶变换--定义 定义：短时傅立叶变换也叫短时谱（加窗的方式） 短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率ω的函数又是时间n的函数 2)周期性：是关于ω的周期函数，周期为2π 4.2.1 短时傅立叶变换--定义 短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序列。不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是在频域的取样。 这两个公式都有两种解释： ① 当n固定不变时，它们是序列w(n-m)x(m) (-∞＜m＜∞)的标准傅里叶变换或标准的离散傅里叶变换。此时与标准傅里叶变换具有相同的性质，而Xn(k)与标准的离散傅里叶变换具有相同的特性。 ② 当ω或k固定时，和Xn(k)看做是时间n的函数。它们是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口的作用相当于一个滤波器。 4.2.1 短时傅立叶变换--定义 频率分辨率Δf、取样周期T、加窗宽度N三者关系： 窗形状对短时傅立叶变换的影响 － 矩形窗——主瓣窄，衰减慢； － 汉明窗——主瓣宽，衰减快； 窗宽对短时频谱的影响 －窗宽长——频率分辨率高，能看到频谱快变化； －窗宽短——频率分辨率低，看不到频谱的快变化； 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 短时傅里叶变换可写为  当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动，所以w(n-m)是一个“滑动的”窗口。 由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所以这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同，短时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2π。 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变换之间的关系  式中*表示复共轭运算。同时功率谱是短时自相关函数  的傅里叶变换。 下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和窗口序列的标准傅里叶变换为 均存在。当n取固定值时，w(n-m)的傅里叶变换为 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 根据傅里叶变换的频域卷积定理，有 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的傅里叶变换进行卷积。 为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣衰减大。（海明窗） 这两个要求实际上相互矛盾，不能同时满足。 窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关系Δf＝1/NT  可见： 窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑，因而二者是矛盾的。 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 第一个零点位置为2π/N，显然它与窗口宽度成反比。 矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只有13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音分析中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减大于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、波动小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。 对语音波形乘以海明窗，压缩了接近窗两端的部分波形，等效于用作分析的区间缩短40%左右，因此，频率分辨率下降40%左右。所以，即使在基音周期性明显的浊音频谱分析中，乘以合适的窗函数，也能抑制基音周期与分析区间的相对相位关系的变动影响，从而得到稳定的频谱。因为乘以窗函数将导致分帧区间缩短，所以为跟踪随时间变化的频谱，要求一部分区间重复移动。 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 其中图(a)是海明窗的窗选信号，图(b)是其对数功率谱；图 (c)是矩形窗下的窗选信号，图(d)是其对数功率谱。 从图 (a)可以明显看出时间波形的周期性，此周期性同样在图(b)中表现出来。图中基频及其谐波在频谱中表现为等频率间隔的窄峰。图(b)中的频谱大约在300～400Hz附近有较强的第一共振峰，而约在2000Hz附近有一个对应于第二