六年级数学下册 几何体的体积背景知识素材 北师大版.docVIP

几何体的体积 几何体的体积﹝体积，Volume﹞是指几何体所占空间的大小。一般简单的体积﹝如正方体，长方体﹞的计算方法，是人类祖先由长期的实践活动中总结出的。其中一个令人惊人的例子是距今约四千年前的古埃及数学文献《莫斯科纸草书》中，已记载了计算正四棱台体积的正确方法。当然那时不可能像现今这样以符号等式表示，他们只以文字描述。译成今天的文句是 :『若有人告知你，截棱锥﹝棱台﹞高为6，顶为2，底为4，你要取4的平方，得16；然后把4加倍，得8；再取2的平方，得4；最后把16，8和4相加，得28；取6的三分之一，得2；取28的2倍，得56；这是正确的。』若以现今的符号式表示，则是V=(h/3)(a2+ab+b2)﹝其中a，b，h分别为正四棱台的上、下底边及高的大小﹞。可惜文献中并没提及公式的由来，而且图形也不够正确。 体积的计算亦于古希腊的文化中发扬光大，这全几乎与当时的“原子论”及“穷竭法”有关。阿基米得指出发现『圆锥体的体积等同同底等高的圆柱体体积的三分之一』的是德谟克利特﹝约公元前460─前357﹞，但作出证明的是攸多克萨斯﹝约公元前408─前355﹞。德谟克利特把圆锥体分成不可再分的圆形薄层，但因各层的圆大小不一，使圆锥表面不光滑，令他困惑。而攸多克萨斯以『穷竭法』解决了一批求体积及面积的问题。这全都载于欧几里得的《几何原本》中。 此外，阿基米得的球体体积计算公式也是古希腊数学的光辉标志之一。他还计算出另一些图形的体积及面积。他的求积术及后更导致17世纪的积分学之产生。 求积术于我国有其独特的思路，历史悠久。《九章算术》中《商功》篇便记载了不少卓越的成果。尤其是祖日桓的开立圆术，是我国求积术的高度成就。 自微积分的创立，求积问题已成为微积分的一个课题了。在计算面积时，可通过割补法﹝出入相补法﹞，把一个三角形变成与它等积的矩形。从而推导出三角形面积相等于同底同高的矩形面积一半的结论。那么，我们能否以相同的方法来推导同底同高的三棱锥体积是对应三棱柱体积的三分之一呢？希尔伯特认为结论是否定的。他把它列入了著名的23个问题之3，德思﹝M. Dehn，1878─1952﹞于1900年便证明了这个命题。他证明了两个多面体若能分割成若干个彼此重合的多面体，单有等积是不够，必须满足一定的条件﹝德恩条件﹞。瑞士数学家西德勒于1965年证明了德恩条件也是充分的。 1